Um capacitor de 1000 mu F em série com um resistor de 1 M Omega foi totalmente carregado por uma fonte de tensão. A tensão de alimentação foi então desconectada e o capacitor se descarregou sobre o resistor. Após 5 minutos, a tensão medida sobre o capacitor foi de 22,22 V. Pergunta-se:
Qual era a tensão da fonte de alimentação?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e de onde vem isso.
Enunciado: Temos um capacitor de V(t)=V0,e^-t/(R,C) em série com um resistor de . Ele foi totalmente carregado por uma fonte (com tensão desconhecida ). Depois desligaram a fonte, o capacitor começou a descarregar pelo resistor e, após 5 minutos, a tensão no capacitor é . A pergunta é: qual era a tensão da fonte que carregou o capacitor?
Conteúdo: circuito RC de descarga (resistor + capacitor).
O que precisamos:
  • A fórmula básica da descarga de um capacitor:
  • Valores: , , .

Passo 2

Entendendo a teoria: quando você liga um capacitor num resistor para descarregar, a tensão dele não cai de uma vez, mas de forma “exponencial”.
Isso acontece porque a corrente de descarga é proporcional à tensão (lei de Ohm: v(t)=V0,e^-t/(R,C)) e a variação de tensão no capacitor obedece .
Resumindo o derivação:
  1. (definição de capacitor)
  2. (lei de Ohm)
  3. Igualando: (o sinal negativo indica descarga)
  4. Resolvendo essa equação diferencial, chega-se em

Passo 3

Calculando a constante de tempo R=1times10^6:Omega, C=10^-3:FLongrightarrowtau=R,C=10^6cdot10^-3=10^3:s:
Ou seja, .

Passo 4

Isolando V(t)=V0,e^-t/tau Longrightarrow V0 = V(t),e^t/tau na fórmula de descarga:

Passo 5

Agora é só colocar os números:
  • V0 = 22,22;exp!l(tfrac3001000r) = 22,22;exp(0,3)
  • V0 approx 22,22times1,3499 approx 30:V
Sabendo que ,

Resposta

A tensão da fonte era aproximadamente .

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