O capacitor de 50 \mu F de um desfibrilador é carregado a 6,0 \mathrm{kV}. Quando usado em um paciente ele libera o pulso que dura 1,0 \mathrm{~ms} e descarrega parcialmente o capacitor através do corpo do paciente, cuja resistência elétrica é de 240 \Omega. Com estas informações:
a) Encontre a energia inicial armazenada no capacitor.
b) Encontre a corrente inicial através do paciente.
c) Encontre a energia dissipada através do paciente durante 1,0 \mathrm{~ms}.
d) Se o capacitor demora 2,0 s para ser recarregado, compare a potência média fornecida pela bateria para o capacitor com aquela fornecida pelo capacitor para o paciente.
e) Baseado no resultado do item anterior, explique a razão de se usar o capacitor e não uma bateria como fonte de energia no desfibrilador.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor usado num desfibrilador e pede várias quantidades. Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
C = 50\\ \mu\mathrm{F},\quad V_0 = 6{,}0\\ \mathrm{kV},\quad R = 240\\ \Omega,
o pulso dura t_{\text{pulso}} = 1{,}0\\ \mathrm{ms} e o recarregamento demora t_{\text{rec}} = 2{,}0\\ \mathrm{s}.
Perguntas:
a) Encontrar a energia inicial armazenada no capacitor.
b) Encontrar a corrente inicial através do paciente.
c) Encontrar a energia dissipada através do paciente durante 1{,}0\\ \mathrm{ms}.
d) Comparar a potência média fornecida pela bateria (durante 2{,}0\\ \mathrm{s} de recarga) com a potência média fornecida pelo capacitor ao paciente (durante 1{,}0\\ \mathrm{ms}).
e) Explicar por que se usa o capacitor e não uma bateria diretamente.

Passo 2

Fórmula e cálculo da energia inicial armazenada no capacitor.
A energia armazenada num capacitor ideal é dada por
E=\tfrac{1}{2} C V^{2},
onde E é a energia (em joules), C é a capacitância (em farads) e V é a diferença de potencial (em volts). Essa fórmula vem do trabalho necessário para carregar o capacitor incrementalmente: é a integral da carga incremental vezes a tensão incremental, que resulta em \tfrac{1}{2}CV^{2}.
Substituindo os valores (antes, converto unidades):
C=50\\ \mu\mathrm{F}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{F},\quad V_0=6{,}0\\ \mathrm{kV}=6000\\ \mathrm{V}.
Calculemos:
E_0=\tfrac{1}{2}\cdot(50\times10^{-6})\cdot(6000)^{2}.
Faço passo a passo:
(6000)^{2}=36\times10^{6},
50\times10^{-6}\cdot36\times10^{6}=50\cdot36=1800,
E_0=\tfrac{1}{2}\cdot1800=900\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Corrente inicial através do paciente.
Quando o capacitor começa a descarregar através da resistência R, a tensão inicial sobre R é V_0. Pela lei de Ohm:
I_0=\frac{V_0}{R},
onde I_0 é a corrente inicial. Substituindo:
I_0=\frac{6000}{240}=25\\ \mathrm{A}.
Observação: este é o valor no instante t=0. Em seguida a corrente decai exponencialmente, mas a pergunta pediu a corrente inicial.

Passo 4

Energia dissipada no paciente durante 1{,}0\\ \mathrm{ms}.
Quando um capacitor descarrega num resistor R, a tensão no capacitor varia com o tempo como
V(t)=V_0 e^{-t/(RC)},
onde RC é a constante de tempo do circuito (em segundos). Aqui
RC = R C = 240\cdot(50\times10^{-6})=240\cdot50\times10^{-6}=12\times10^{-3}\\ \mathrm{s}=0{,}012\\ \mathrm{s}.
A energia restante no capacitor no instante t é
E(t)=\tfrac{1}{2}C\bigl(V(t)\bigr)^{2}=\tfrac{1}{2}C V_0^{2} e^{-2t/(RC)}=E_0 e^{-2t/(RC)}.
Logo, a energia dissipada no resistor entre t=0 e t=t_1 é a energia inicial menos a energia restante:
E_{\text{diss}}(t_1)=E_0\Bigl(1-e^{-2t_1/(RC)}\Bigr).
Agora aplico com t_1=1{,}0\\ \mathrm{ms}=0{,}001\\ \mathrm{s}:
\frac{2t_1}{RC}=\frac{2\cdot0{,}001}{0{,}012}=\frac{0{,}002}{0{,}012}\approx0{,}1666667.
Calculo a exponencial:
e^{-0{,}1666667}\approx0{,}84648.
Portanto
E_{\text{diss}}=900\bigl(1-0{,}84648\bigr)\approx900\cdot0{,}15352\approx138{,}2\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável: 138\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Potências médias e comparação.
A energia que a bateria precisa fornecer para recarregar o capacitor é igual à energia que foi dissipada no paciente durante o pulso (assumindo perdas só no paciente, circuito ideal): isto é E_{\text{rec}}=E_{\text{diss}}\approx138{,}2\\ \mathrm{J}.
A potência média fornecida pela bateria durante o tempo de recarga t_{\text{rec}}=2{,}0\\ \mathrm{s} é
P_{\text{bat}}=\frac{E_{\text{rec}}}{t_{\text{rec}}}=\frac{138{,}166\ldots}{2{,}0}\approx69{,}08\\ \mathrm{W}\approx69{,}1\\ \mathrm{W}.
A potência média fornecida pelo capacitor ao paciente durante o pulso de duração t_{\text{pulso}}=1{,}0\\ \mathrm{ms}=0{,}001\\ \mathrm{s} é
P_{\text{cap}}=\frac{E_{\text{diss}}}{t_{\text{pulso}}}=\frac{138{,}166\ldots}{0{,}001}\approx1{,}38\times10^{5}\\ \mathrm{W}=138{,}000\\ \mathrm{W}.
Comparação (razão):
\frac{P_{\text{cap}}}{P_{\text{bat}}}=\frac{t_{\text{rec}}}{t_{\text{pulso}}}=\frac{2{,}0}{0{,}001}=2000.
Ou seja, o capacitor entrega em média durante o pulso cerca de 2000 vezes a potência média que a bateria fornece enquanto recarrega.

Passo 6

Explicação (resumida e direta) do porquê usar o capacitor e não a bateria diretamente.
É preciso uma potência muito grande durante um intervalo extremamente curto para o choque (aqui centenas de quilowatts instantâneos). Uma bateria comum não consegue fornecer essa corrente instantânea sem ser muito grande, pesada, cara e sem grandes limitações por resistência interna e segurança. O capacitor permite armazenar energia lentamente (a bateria pode recarregá‑lo com potência moderada) e liberá‑la muito rapidamente no pulso. Assim obtemos um pulso de alta potência sem exigir que a bateria entregue essa potência instantaneamente — isso reduz tamanho, custo e melhora controle e segurança do aparelho.

Resposta

(a) 900\\ \mathrm{J}
(b) 25\\ \mathrm{A}
(c) 138\\ \mathrm{J}
(d) P_{\text{bat}}\approx69{,}1\\ \mathrm{W}, P_{\text{cap}}\approx1{,}38\times10^{5}\\ \mathrm{W} (o capacitor entrega em média 2000 vezes mais potência durante o pulso)
(e) Porque precisamos de uma potência muito alta em curtíssimo tempo; o capacitor armazena energia lentamente e entrega rapidamente, enquanto uma bateria não conseguiria fornecer essa potência instantânea sem ser impraticável (tamanho, resistência interna, segurança).

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