Materiais dielétricos usados na fabricação de capacitores tem uma pequena condutividade. Portanto, um capacitor carregado lentamente perde sua carga através do dielétrico. Se um capacitor com capacitância
perde sua carga de tal maneira que a diferença de potencial diminui até metade do valor inicial em tempo
, qual é a resistência equivalente do dielétrico? Nota: sua resposta deve ser expressa em função de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
- Dado: um capacitor de capacitância
apresenta perda de carga através do dielétrico, que podemos representar por uma resistência equivalente . - Dado: a diferença de potencial sobre o capacitor diminui até metade do valor inicial em um intervalo de tempo
. Ou seja, se a tensão inicial é , então em temos . - Pedido: determinar a resistência equivalente do dielétrico
, expressando a resposta em função de (e dos demais parâmetros necessários que aparecem naturalmente na solução).
Passo 2
Modelo e equação que descreve a descarga (explicação e definições).
- Vamos representar o efeito de perda de carga por uma resistência
conectada em paralelo com o capacitor . A tensão no capacitor em qualquer instante é . - Corrente pelo capacitor: a definição básica do capacitor diz que a corrente através dele é proporcional à taxa de variação da tensão. Em notação matemática:
onde
é a corrente que sai do capacitor (unidades: ampère),
é a capacitância (farad) e
é a derivada temporal da tensão (volt/segundo).
- Corrente pela resistência (dielétrico): segundo a lei de Ohm, a corrente que atravessa a resistência é
onde
é a resistência (ohm).
- Conservação de carga / KCL no nó: a corrente que sai do capacitor deve igualar a corrente que passa pela resistência (para descarga sem fonte externa). Tomando sinais de forma que
seja negativo durante a descarga, obtemos:
Essa é a equação diferencial que descreve a descarga exponencial.
Passo 3
Resolver a equação diferencial (separação de variáveis).
- Reescrevendo a equação:
- Separando variáveis:
- Integramos ambos os lados do instante inicial até um instante genérico
. Se em a tensão é e em tempo é , então
- Calculando as integrais (lembrando que
):
- Usando propriedades do logaritmo:
Passo 4
Aplicar a condição do enunciado
e isolar
.
- Substituindo
na expressão obtida:
- Sabendo que
, obtemos:
- Cancelando o sinal negativo:
- Isolando
:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (motivação para a fórmula; unidade).
- A fórmula faz sentido qualitativamente: quanto maior o tempo
necessário para a tensão cair pela metade, maior é (o dielétrico conduz menos). Quanto maior , mais carga armazenada e mais rápida a queda para um dado , logo é inversamente proporcional a . - Unidade:
tem unidades de segundo, em farad; é adimensional, então tem unidades de segundo dividido por farad = ohm, consistente.