Materiais dielétricos usados na fabricação de capacitores tem uma pequena condutividade. Portanto, um capacitor carregado lentamente perde sua carga através do dielétrico. Se um capacitor com capacitância C perde sua carga de tal maneira que a diferença de potencial diminui até metade do valor inicial em tempo t, qual é a resistência equivalente do dielétrico? Nota: sua resposta deve ser expressa em função de t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Dado: um capacitor de capacitância C apresenta perda de carga através do dielétrico, que podemos representar por uma resistência equivalente R.
  • Dado: a diferença de potencial sobre o capacitor diminui até metade do valor inicial em um intervalo de tempo t. Ou seja, se a tensão inicial é V_0, então em t temos V(t)=\tfrac{V_0}{2}.
  • Pedido: determinar a resistência equivalente do dielétrico R, expressando a resposta em função de t (e dos demais parâmetros necessários que aparecem naturalmente na solução).

Passo 2

Modelo e equação que descreve a descarga (explicação e definições).
  • Vamos representar o efeito de perda de carga por uma resistência R conectada em paralelo com o capacitor C. A tensão no capacitor em qualquer instante é V(t).
  • Corrente pelo capacitor: a definição básica do capacitor diz que a corrente através dele é proporcional à taxa de variação da tensão. Em notação matemática:
i_C(t)=C\,\frac{dV}{dt},
onde i_C(t) é a corrente que sai do capacitor (unidades: ampère), C é a capacitância (farad) e \frac{dV}{dt} é a derivada temporal da tensão (volt/segundo).
  • Corrente pela resistência (dielétrico): segundo a lei de Ohm, a corrente que atravessa a resistência é
i_R(t)=\frac{V(t)}{R},
onde R é a resistência (ohm).
  • Conservação de carga / KCL no nó: a corrente que sai do capacitor deve igualar a corrente que passa pela resistência (para descarga sem fonte externa). Tomando sinais de forma que \frac{dV}{dt} seja negativo durante a descarga, obtemos:
C\,\frac{dV}{dt} + \frac{V}{R}=0.
Essa é a equação diferencial que descreve a descarga exponencial.

Passo 3

Resolver a equação diferencial (separação de variáveis).
  • Reescrevendo a equação:
\frac{dV}{dt} = -\frac{1}{RC}\,V.
  • Separando variáveis:
\frac{dV}{V} = -\frac{dt}{RC}.
  • Integramos ambos os lados do instante inicial até um instante genérico t. Se em t=0 a tensão é V(0)=V_0 e em tempo t é V(t), então
\int_{V_0}^{V(t)}\frac{dV'}{V'} = -\int_{0}^{t}\frac{dt'}{RC}.
  • Calculando as integrais (lembrando que \int \frac{dV'}{V'}=\ln V'):
\ln\!\bigl(V(t)\bigr)-\ln\!\bigl(V_0\bigr) = -\frac{t}{RC}.
  • Usando propriedades do logaritmo:
\ln\!\Bigl(\frac{V(t)}{V_0}\Bigr) = -\frac{t}{RC}.

Passo 4

Aplicar a condição do enunciado V(t)=\tfrac{V_0}{2} e isolar R.
  • Substituindo V(t)=\tfrac{V_0}{2} na expressão obtida:
\ln\!\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr) = -\frac{t}{RC}.
  • Sabendo que \ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\ln 2, obtemos:
-\ln 2 = -\frac{t}{RC}.
  • Cancelando o sinal negativo:
\frac{t}{RC} = \ln 2.
  • Isolando R:
R = \frac{t}{C\,\ln 2}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (motivação para a fórmula; unidade).
  • A fórmula faz sentido qualitativamente: quanto maior o tempo t necessário para a tensão cair pela metade, maior é R (o dielétrico conduz menos). Quanto maior C, mais carga armazenada e mais rápida a queda para um dado R, logo R é inversamente proporcional a C.
  • Unidade: t tem unidades de segundo, C em farad; \ln 2 é adimensional, então R tem unidades de segundo dividido por farad = ohm, consistente.

Resposta

R=\frac{t}{C\,\ln 2}

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