Um capacitor com capacitância de 8,40 nF é carregado até 12,8 V. Em seguida, é desconectado da fonte e conectado em série com um indutor, em um circuito ideal. O período de oscilação medido para o circuito é 9,98 times 10^-5 s.
Calcule a corrente máxima no circuito.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta tá pedindo. Temos um capacitor com capacitância de 8,40,nF carregado até 12,8,V. Depois, ele é desconectado da fonte e conectado em série com um indutor num circuito ideal. O período de oscilação desse circuito é 9,98 times 10^-5,s. A gente precisa descobrir qual é a corrente máxima que acontece nesse circuito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos LC (indutor e capacitor) e as fórmulas que relacionam capacitância, indutância e período de oscilação. Além disso, vamos aplicar a conservação da energia entre o capacitor e o indutor para achar a corrente máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da indutância L. Sabemos que o período de oscilação T de um circuito LC é dado por:
T = 2pi raizLC
Onde:
  • T é o período de oscilação,
  • L é a indutância,
  • C é a capacitância.
Queremos encontrar L, então vamos rearranjar a fórmula:
L = ( T2pi )^2 times 1C

Passo 3

Agora que temos uma fórmula para L, vamos substituir os valores que conhecemos. Primeiro, precisamos garantir que as unidades estejam consistentes. Vamos converter a capacitância para farads:
C = 8,40,nF = 8,40 times 10^-9,F
E o período T já está em segundos:
T = 9,98 times 10^-5,s
Substituindo na fórmula de L:
L = ( 9,98 times 10^-5,s2pi )^2 times 18,40 times 10^-9,F

Passo 4

Vamos calcular o valor de L passo a passo:
Primeiro, calculamos T2pi:
9,98 times 10^-52pi approx 9,98 times 10^-56,2832 approx 1,588 times 10^-5,s
Elevando ao quadrado:
(1,588 times 10^-5)^2 approx 2,522 times 10^-10,s^2
Agora, dividimos por C:
L = 2,522 times 10^-108,40 times 10^-9 approx 0,030,H = 30,mH

Passo 5

Com o valor de L conhecido, vamos usar a conservação da energia para encontrar a corrente máxima Imáxá. A energia armazenada no capacitor é igual à energia armazenada no indutor no ponto de corrente máxima.
A energia no capacitor é:
UC = 12 C V^2
E a energia no indutor é:
UL = 12 L Imáx^2 á
Igualando as duas expressões:
12 C V^2 = 12 L Imáx^2 á
Podemos simplificar cancelando o 12:
C V^2 = L Imáx^2 á
Agora, isolamos Imáxá:
Imáx = V raizCL á

Passo 6

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
V = 12,8,V
C = 8,40 times 10^-9,F
L = 0,030,H
Calculando:
Imáx = 12,8 times raiz8,40 times 10^-90,030 = 12,8 times raiz2,8 times 10^-7 approx 12,8 times 5,2915 times 10^-4 approx 0,00677,A á
Convertendo para miliamperes:
0,00677,A = 6,77,mA

Resposta

A corrente máxima no circuito é aproximadamente 6,77,mA.

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