Um capacitor carregado e um indutor são ligados para for-mar um circuito fechado no instante
. Em termos do período
das oscilações resultantes, determine o tempo necessário para que as seguintes grandezas passem por um máximo pela primeira vez:
(a)
; (b) o fluxo magnético no indutor; (c) di/dt; (d) a força eletromotriz no indutor. (31-P1 334)
(a)
Passo 1
A questão envolve um circuito LC sem resistência, em que um capacitor inicialmente carregado (t=0 com carga máxima Q e sem corrente) é conectado a um indutor. As oscilações de carga e corrente têm período T. Precisamos usar as soluções padrão da oscilação LC: carga q(t)=Q cos(ωt), corrente i(t)=–dq/dt, energia magnética U_B=(1/2)L i², fluxo φ=L i, derivada di/dt e fem ε=–dφ/dt.
Passo 2
Na teoria do circuito LC ideal, a frequência angular é ω=2π/T. A carga no capacitor é
Logo a corrente no indutor é
Passo 3
A energia magnética no indutor é U_B=(1/2)L i² e o fluxo magnético é φ=L i. Ambos dependem de i² ou i, então atingem o máximo absoluto quando |i| é máximo. O seno atinge |sin(ωt)|=1 em ωt=π/2, isto é
Passo 4
Para di/dt temos
Essa função atinge o valor extremo (máximo em valor absoluto) quando |cos(ωt)|=1, e o primeiro instante é ωt=0, ou seja t=0.
Passo 5
A fem no indutor é ε=–dφ/dt=–L di/dt. Como di/dt é proporcional a cos(ωt), ε fica
Que também atinge seu máximo no primeiro instante ωt=0, ou seja t=0.
Resposta
a) t = T/4; b) t = T/4; c) t = 0; d) t = 0