Um capacitor cilíndrico consiste de dois cilindros coaxiais de altura
e raios
e
. Mostre que a capacitância do cilindro é
.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor formado por dois cilindros coaxiais de mesma altura
e raios
(interno) e
(externo), com
. Precisa-se mostrar que a capacitância total vale
Informações relevantes fornecidas:
- altura comum:
; - raios:
e com .
O que se pede: calcular a capacitânciado sistema (assumindo que os efeitos de borda são desprezíveis, isto é, o campo entre os cilindros é radial e independente da coordenada axial).
Passo 2
Ideia física e escolha da superfície de Gauss. Para achar o campo elétrico entre os cilindros usamos a simetria cilíndrica e a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz:
onde
é a carga total dentro da superfície fechada escolhida e
é a permissividade do vácuo. Pela simetria coaxial o campo entre os cilindros é radial e depende só da distância radial
. Então escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
tal que
e comprimento
. Nessa superfície o campo tem módulo constante
e é perpendicular à superfície lateral.
Passo 3
Aplicação direta da Lei de Gauss. O fluxo elétrico atravessando a superfície cilíndrica é o campo vezes a área lateral:
A carga encerrada por essa superfície é a carga do cilindro interno. Se
for a densidade linear de carga do cilindro interno (carga por unidade de comprimento), então
Substituindo na Lei de Gauss:
Cancelando
(pressuposição: campo uniforme ao longo da altura interior) obtemos o módulo do campo elétrico entre os cilindros:
Aqui
aponta radialmente para fora se
.
Passo 4
Relação entre carga total e densidade linear. A carga total no cilindro interno é
. Essa relação será usada para escrever a capacitância em termos de
.
Passo 5
Cálculo da diferença de potencial entre os cilindros. A diferença de potencial (módulo) entre os dois condutores é a integral do campo radial ao longo de
de
até
. Tomando a referência conveniente e usando o fato de que
é radial:
Substituindo
:
Passo 6
Cálculo da capacitância a partir de
. Usando
e o valor de
obtido:
As
cancelam, como esperado.
Passo 7
Observações finais pedagógicas. O resultado assume que a altura
é grande o suficiente para que os efeitos de borda (fringing) nas extremidades sejam desprezíveis, de modo que o campo se comporte como o de um cilindro infinito ao longo da região considerada. A constante
é a permissividade elétrica do vácuo. Pronto — derivação completa, passo a passo.