Um capacitor cilíndrico consiste de dois cilindros coaxiais de altura h e raios r_{1} e r_{2}\left(r_{2}>r_{1}\right). Mostre que a capacitância do cilindro é C=\frac{2 \pi \epsilon_{0} h}{\ln \left(r_{2} / r_{1}\right)}.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor formado por dois cilindros coaxiais de mesma altura h e raios r_{1} (interno) e r_{2} (externo), com r_{2}>r_{1}. Precisa-se mostrar que a capacitância total vale
C=\frac{2\pi\epsilon_{0} h}{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • altura comum: h;
  • raios: r_{1} e r_{2} com r_{2}>r_{1}.
    O que se pede: calcular a capacitância C do sistema (assumindo que os efeitos de borda são desprezíveis, isto é, o campo entre os cilindros é radial e independente da coordenada axial).

Passo 2

Ideia física e escolha da superfície de Gauss. Para achar o campo elétrico entre os cilindros usamos a simetria cilíndrica e a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz:
\oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada escolhida e \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Pela simetria coaxial o campo entre os cilindros é radial e depende só da distância radial r. Então escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r tal que r_{1}<r<r_{2} e comprimento h. Nessa superfície o campo tem módulo constante E(r) e é perpendicular à superfície lateral.

Passo 3

Aplicação direta da Lei de Gauss. O fluxo elétrico atravessando a superfície cilíndrica é o campo vezes a área lateral:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot(2\pi r h).
A carga encerrada por essa superfície é a carga do cilindro interno. Se \lambda for a densidade linear de carga do cilindro interno (carga por unidade de comprimento), então
Q_{\text{int}}=\lambda h.
Substituindo na Lei de Gauss:
E(r)\,(2\pi r h)=\frac{\lambda h}{\epsilon_{0}}.
Cancelando h (pressuposição: campo uniforme ao longo da altura interior) obtemos o módulo do campo elétrico entre os cilindros:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,r}.
Aqui E(r) aponta radialmente para fora se \lambda>0.

Passo 4

Relação entre carga total e densidade linear. A carga total no cilindro interno é Q=\lambda h. Essa relação será usada para escrever a capacitância em termos de Q.

Passo 5

Cálculo da diferença de potencial entre os cilindros. A diferença de potencial (módulo) entre os dois condutores é a integral do campo radial ao longo de r de r_{1} até r_{2}. Tomando a referência conveniente e usando o fato de que E é radial:
V\equiv V(r_{1})-V(r_{2})=\int_{r_{1}}^{r_{2}} E(r)\,dr.
Substituindo E(r):
V=\int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,r}\,dr =\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{r} =\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right).

Passo 6

Cálculo da capacitância a partir de C=Q/V. Usando Q=\lambda h e o valor de V obtido:
C=\frac{Q}{V}=\frac{\lambda h}{\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)} = \frac{2\pi\epsilon_{0} h}{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}.
As \lambda cancelam, como esperado.

Passo 7

Observações finais pedagógicas. O resultado assume que a altura h é grande o suficiente para que os efeitos de borda (fringing) nas extremidades sejam desprezíveis, de modo que o campo se comporte como o de um cilindro infinito ao longo da região considerada. A constante \epsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo. Pronto — derivação completa, passo a passo.

Resposta

C=\frac{2\pi\epsilon_{0} h}{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}

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