Considere uma esfera com densidade de carga uniforme \rho, raio R e volume \mathcal{V}. Encontre a energia eletrostática da esfera de três maneiras diferentes:
Usando W=\frac{1}{2} \int_{\mathcal{V}} \rho V d \tau;

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga uniforme \rho e volume \mathcal{V}. Pede-se calcular a energia eletrostática total da esfera usando a fórmula
W=\tfrac{1}{2}\int_{\mathcal{V}} \rho\, V\, d\tau,
onde V é o potencial elétrico no ponto e d\tau é o elemento de volume. Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • \rho é constante em todo o volume da esfera;
  • o volume total é \mathcal{V}=\tfrac{4}{3}\pi R^{3};
  • a carga total é \displaystyle Q=\rho\,\mathcal{V}=\rho\frac{4}{3}\pi R^{3}.
O objetivo deste método é:
  • achar o potencial V(r) dentro da esfera (como função da distância radial r ao centro);
  • calcular W=\tfrac12\int_{0}^{R}\rho\,V(r)\,4\pi r^{2}\,dr explicitamente, com todas as contas detalhadas.

Passo 2

Achar o campo elétrico radial E(r) (necessário para obter V(r)). Vou usar a lei de Gauss para uma distribuição esfericamente simétrica: para uma superfície esférica de raio r centrada na esfera, o fluxo elétrico total é \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = E(r)\,4\pi r^{2} e isso é igual à carga envolvida dividido por \epsilon_0. A carga envolvida depende de r:
  • Para r\le R (dentro da esfera) a carga envolvida é a carga da esfera de raio r: Q_{\text{enc}}(r)=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}.Aplicando Gauss, E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\epsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^{2}} =\frac{\rho}{3\epsilon_0}\,r.Ou seja, E(r)=\frac{\rho\,r}{3\epsilon_0},\qquad (r\le R).
  • Para r\ge R (fora da esfera) toda a carga Q fica dentro da superfície gaussiana, então E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^{2}},\qquad (r\ge R).
Expliquei por que a simetria justifica a dependência radial e como se obtém E(r). Esses são resultados essenciais para o potencial.

Passo 3

Determinar o potencial V(r) escolhendo a referência V(\infty)=0. Lembro que o potencial é relacionado ao campo por
V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell},
e, por simetria radial, \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}=E(r)\,dr com sinal apropriado.
  • Para r\ge R (fora), integrando de \infty até r:
    V(r)= -\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr' = -\int_{\infty}^{r} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r'^{2}}\,dr' =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}.
    Então
    V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r},\qquad (r\ge R).
  • Para r\le R (dentro), uso a continuidade do potencial na superfície e integro de R até r:
    V(r)=V(R)-\int_{R}^{r} E(r')\,dr'.
    Já sabemos V(R)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{R}. Substituindo E(r')=\dfrac{\rho\,r'}{3\epsilon_0} (do Passo 2),
    V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}-\int_{R}^{r}\frac{\rho\,r'}{3\epsilon_0}\,dr'.
    Calculo da integral:
    -\int_{R}^{r}\frac{\rho\,r'}{3\epsilon_0}\,dr' = -\frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(r^{2}-R^{2}\bigr) =\frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr).
    Assim
    V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}+\frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr),\qquad (r\le R).
    Podemos escrever essa forma de modo compacto substituindo Q=\rho\frac{4}{3}\pi R^{3}. Uma forma muito usada e elegante é
    V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),\qquad (r\le R),
    que verifica V(R)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 R} e é contínua em r=R.

Passo 4

Agora aplico diretamente a fórmula pedida:
W=\tfrac{1}{2}\int_{\mathcal{V}} \rho\,V\,d\tau =\tfrac{1}{2}\rho\int_{0}^{R} V(r)\,4\pi r^{2}\,dr,
porque \rho é constante e uso coordenadas esféricas ( d\tau=4\pi r^{2}dr ao integrar angularmente).
Escolho a expressão de V(r) em termos de \rho (mais conveniente para cancelar termos). A forma útil é
V(r)=\frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(3R^{2}-r^{2}\bigr),\qquad (r\le R),
que obtive no Passo 3 (essa forma é equivalente à anterior, basta substituir Q). Substituindo no integral:
W=\tfrac{1}{2}\rho\int_{0}^{R} \frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(3R^{2}-r^{2}\bigr)4\pi r^{2}\,dr.
Coloco constantes fora do integral:
W=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\rho^{2}}{6\epsilon_0}\cdot 4\pi \int_{0}^{R} \bigl(3R^{2}-r^{2}\bigr) r^{2}\,dr.
Simplifico o fator numérico:
\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cdot 4\pi = \frac{4\pi}{12}=\frac{\pi}{3},
mas para seguir passo a passo vou manter intermediários e calcular a integral explícita. Primeiro, expandindo o integrando:
\bigl(3R^{2}-r^{2}\bigr) r^{2}=3R^{2}r^{2}-r^{4}.
As integrais elementares são
\int_{0}^{R} r^{2}\,dr=\frac{R^{3}}{3},\qquad \int_{0}^{R} r^{4}\,dr=\frac{R^{5}}{5}.
Portanto
\int_{0}^{R} \bigl(3R^{2}r^{2}-r^{4}\bigr)\,dr = 3R^{2}\cdot\frac{R^{3}}{3}-\frac{R^{5}}{5} =R^{5}-\frac{R^{5}}{5}=\frac{4}{5}R^{5}.
Agora recoloco tudo:
W=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\rho^{2}}{6\epsilon_0}\cdot 4\pi \cdot \frac{4}{5}R^{5}.
Multiplico os fatores numéricos:
\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}\cdot 4\cdot\frac{4}{5}=\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{30}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.
Assim obtemos a forma em termos de \rho:
W=\frac{4\pi\,\rho^{2}R^{5}}{15\epsilon_{0}}.

Passo 5

Expressar W em termos da carga total Q (às vezes mais útil). Lembrando
Q=\rho\frac{4}{3}\pi R^{3}\quad\Rightarrow\quad \rho=\frac{3Q}{4\pi R^{3}}.
Substituo \rho em W=\dfrac{4\pi\rho^{2}R^{5}}{15\epsilon_{0}}:
W=\frac{4\pi}{15\epsilon_{0}}\left(\frac{3Q}{4\pi R^{3}}\right)^{2}R^{5}.
Calculo passo a passo:
\left(\frac{3Q}{4\pi R^{3}}\right)^{2}=\frac{9Q^{2}}{16\pi^{2}R^{6}},
então
W=\frac{4\pi}{15\epsilon_{0}}\cdot\frac{9Q^{2}}{16\pi^{2}R^{6}}\cdot R^{5} =\frac{36Q^{2}}{240\pi\epsilon_{0}R} =\frac{3Q^{2}}{20\pi\epsilon_{0}R}.
Esta é a forma final em termos de Q. Para comparação com a energia de uma esfera condutora (toda a carga na superfície), que é W_{\text{cond}}=\dfrac{1}{2}Q\,V_{\text{surface}}=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R}, nota-se que
\frac{W}{W_{\text{cond}}}=\frac{\tfrac{3Q^{2}}{20\pi\epsilon_{0}R}}{\tfrac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R}}=\frac{3}{20}\cdot 8=\frac{6}{5}=1{,}2,
ou seja, a esfera com carga uniformemente distribuída no volume tem 20\% a mais de energia do que a mesma carga colocada na superfície (com o mesmo raio).

Resposta

W=\frac{4\pi\,\rho^{2}R^{5}}{15\epsilon_{0}}
W=\frac{3Q^{2}}{20\pi\epsilon_{0}R}

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