Considere uma esfera com densidade de carga uniforme
, raio
e volume
. Encontre a energia eletrostática da esfera de três maneiras diferentes:
Usando
;
Usando
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
com densidade volumétrica de carga uniforme
e volume
. Pede-se calcular a energia eletrostática total da esfera usando a fórmula
onde
é o potencial elétrico no ponto e
é o elemento de volume. Informações dadas que vamos usar explicitamente:
-
é constante em todo o volume da esfera; - o volume total é
; - a carga total é
.
O objetivo deste método é:
- achar o potencial
dentro da esfera (como função da distância radial ao centro); - calcular
explicitamente, com todas as contas detalhadas.
Passo 2
Achar o campo elétrico radial
(necessário para obter
). Vou usar a lei de Gauss para uma distribuição esfericamente simétrica: para uma superfície esférica de raio
centrada na esfera, o fluxo elétrico total é
e isso é igual à carga envolvida dividido por
. A carga envolvida depende de
:
- Para
(dentro da esfera) a carga envolvida é a carga da esfera de raio : Aplicando Gauss, Ou seja, - Para
(fora da esfera) toda a carga fica dentro da superfície gaussiana, então
Expliquei por que a simetria justifica a dependência radial e como se obtém
. Esses são resultados essenciais para o potencial.
Passo 3
Determinar o potencial
escolhendo a referência
. Lembro que o potencial é relacionado ao campo por
e, por simetria radial,
com sinal apropriado.
-
Para
(fora), integrando de até : Então -
Para
(dentro), uso a continuidade do potencial na superfície e integro de até : Já sabemos. Substituindo (do Passo 2), Calculo da integral:AssimPodemos escrever essa forma de modo compacto substituindo. Uma forma muito usada e elegante é que verificae é contínua em .
Passo 4
Agora aplico diretamente a fórmula pedida:
porque
é constante e uso coordenadas esféricas (
ao integrar angularmente).
Escolho a expressão de
em termos de
(mais conveniente para cancelar termos). A forma útil é
que obtive no Passo 3 (essa forma é equivalente à anterior, basta substituir
). Substituindo no integral:
Coloco constantes fora do integral:
Simplifico o fator numérico:
mas para seguir passo a passo vou manter intermediários e calcular a integral explícita. Primeiro, expandindo o integrando:
As integrais elementares são
Portanto
Agora recoloco tudo:
Multiplico os fatores numéricos:
Assim obtemos a forma em termos de
:
Passo 5
Expressar
em termos da carga total
(às vezes mais útil). Lembrando
Substituo
em
:
Calculo passo a passo:
então
Esta é a forma final em termos de
. Para comparação com a energia de uma esfera condutora (toda a carga na superfície), que é
, nota-se que
ou seja, a esfera com carga uniformemente distribuída no volume tem
a mais de energia do que a mesma carga colocada na superfície (com o mesmo raio).