Uma casca esférica condutora e aterrada, com raio interno a e externo b, é preenchida com uma densidade de carga constante \rho. Encontre:
a energia eletrostática da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica condutora aterrada com raio interno a e externo b. A região interna (a cavidade de raio a) está preenchida por uma densidade volumétrica de carga constante \rho. Pede-se a energia eletrostática (energia armazenada no campo elétrico) do sistema.
Informações relevantes que temos:
  • A cavidade tem raio a e contém carga volumétrica constante \rho.
  • A casca condutora ocupa a<r<b e está aterrada ( V=0 no condutor e fora dele).
  • Como o condutor está aterrado, cargas induzidas aparecerão na superfície interna ( r=a) de forma a anular o potencial fora, de modo que não haja campo elétrico para r>b.
O que devemos encontrar:
  • A energia eletrostática total U associada ao campo elétrico produzido pela distribuição de carga \rho na cavidade, levando em conta que o condutor aterrado anula o campo fora de r=a.

Passo 2

Calcular a carga total contida na cavidade (isto vai ajudar a simplificar expressões). A carga total Q contida no volume esférico de raio a é a integral da densidade \rho:
Q=\int_{\text{cavidade}}\rho\,dV=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi a^{3}.
Ou seja,
Q=\frac{4}{3}\pi a^{3}\rho.

Passo 3

Determinar o campo elétrico na região interna 0<r<a usando a simetria esférica e a Lei de Gauss.
Lembrete rápido da Lei de Gauss (em forma útil): para uma superfície esférica de raio r centrada na distribuição, a integral do campo é
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}}(r) é a carga total contida dentro do raio r.
Para r<a a carga encerrada é a carga do volume esférico de raio r:
Q_{\text{int}}(r)=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Pela simetria esférica \mathbf{E} é radial e constante na superfície esférica de raio r, então
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0} =\frac{1}{\varepsilon_0}\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0},\qquad 0<r<a.
Explicação física curta: como o condutor entre a e b é perfeito, o campo dentro do metal é zero; como a casca está aterradada, a carga total Q contida na cavidade induz uma carga -Q na superfície interna r=a e a combinação faz com que não haja campo fora do condutor (para r>b o campo é zero). Portanto o único campo não nulo está na região 0<r<a e é dado acima.

Passo 4

Fórmula da densidade de energia eletrostática no vácuo e estratégia de integração.
A densidade de energia (energia por volume) do campo elétrico é
u(\mathbf{r})=\frac{\varepsilon_0}{2}E^{2}(\mathbf{r}).
A energia total é a integral desta densidade sobre todo o espaço. Como E é não nulo somente em 0<r<a, podemos escrever
U=\int_{\text{tudo}} u(\mathbf{r})\,dV =\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{0}^{a} E^{2}(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Agora substituímos E(r)=\dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0} e calculamos a integral passo a passo.

Passo 5

Substituição e cálculo da integral.
Primeiro escrever E^{2}(r):
E^{2}(r)=\left(\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\right)^{2}=\frac{\rho^{2} r^{2}}{9\varepsilon_0^{2}}.
Colocando na fórmula de U:
U=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{0}^{a}\frac{\rho^{2} r^{2}}{9\varepsilon_0^{2}}\,4\pi r^{2}\,dr.
Simplificando constantes fora da integral:
U=\frac{\varepsilon_0}{2}\cdot\frac{\rho^{2}}{9\varepsilon_0^{2}}\cdot 4\pi \int_{0}^{a} r^{4}\,dr =\frac{4\pi\rho^{2}}{18\varepsilon_0}\int_{0}^{a}r^{4}\,dr.
Observando que \dfrac{4}{18}=\dfrac{2}{9}, fica
U=\frac{2\pi\rho^{2}}{9\varepsilon_0}\int_{0}^{a}r^{4}\,dr.
Integral direta:
\int_{0}^{a}r^{4}\,dr=\frac{a^{5}}{5}.
Portanto
U=\frac{2\pi\rho^{2}}{9\varepsilon_0}\cdot\frac{a^{5}}{5} =\frac{2\pi\rho^{2}a^{5}}{45\varepsilon_0}.

Passo 6

Expressão em termos da carga total Q (opcional, útil para comparar com fórmulas conhecidas).
Recordando Q=\dfrac{4}{3}\pi a^{3}\rho, temos \rho=\dfrac{3Q}{4\pi a^{3}}. Substituindo em U:
U=\frac{2\pi}{45\varepsilon_0}\left(\frac{3Q}{4\pi a^{3}}\right)^{2}a^{5} =\frac{2\pi}{45\varepsilon_0}\cdot\frac{9Q^{2}}{16\pi^{2}a^{6}}\cdot a^{5}.
Simplificando passo a passo:
U=\frac{18 Q^{2}}{720\pi\varepsilon_0 a}=\frac{Q^{2}}{40\pi\varepsilon_0 a}.
(Verificação rápida: as simplificações dão 2\pi\cdot 9/(45\cdot 16\pi^{2})=9/(360\pi)=1/(40\pi).)
Interpretacão física rápida: a energia é menor do que a energia de uma esfera uniformemente carregada isolada porque aqui o condutor aterrado anula o campo externo, confinando o campo (e portanto a energia) à parte interna.

Resposta

U=\frac{2\pi\rho^{2}a^{5}}{45\varepsilon_{0}}
U=\frac{Q^{2}}{40\pi\varepsilon_{0}a},\quad\text{onde }Q=\frac{4}{3}\pi a^{3}\rho.

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