Uma casca esférica condutora e aterrada, com raio interno
e externo
, é preenchida com uma densidade de carga constante
. Encontre:
a energia eletrostática da esfera.
a energia eletrostática da esfera.
Passo 1
O enunciado dá uma casca esférica condutora aterrada com raio interno
e externo
. A região interna (a cavidade de raio
) está preenchida por uma densidade volumétrica de carga constante
. Pede-se a energia eletrostática (energia armazenada no campo elétrico) do sistema.
Informações relevantes que temos:
- A cavidade tem raio
e contém carga volumétrica constante . - A casca condutora ocupa
e está aterrada ( no condutor e fora dele). - Como o condutor está aterrado, cargas induzidas aparecerão na superfície interna (
) de forma a anular o potencial fora, de modo que não haja campo elétrico para .
O que devemos encontrar:
- A energia eletrostática total
associada ao campo elétrico produzido pela distribuição de carga na cavidade, levando em conta que o condutor aterrado anula o campo fora de .
Passo 2
Calcular a carga total contida na cavidade (isto vai ajudar a simplificar expressões). A carga total
contida no volume esférico de raio
é a integral da densidade
:
Ou seja,
Passo 3
Determinar o campo elétrico na região interna
usando a simetria esférica e a Lei de Gauss.
Lembrete rápido da Lei de Gauss (em forma útil): para uma superfície esférica de raio
centrada na distribuição, a integral do campo é
onde
é a carga total contida dentro do raio
.
Para
a carga encerrada é a carga do volume esférico de raio
:
Pela simetria esférica
é radial e constante na superfície esférica de raio
, então
Isolando
:
Explicação física curta: como o condutor entre
e
é perfeito, o campo dentro do metal é zero; como a casca está aterradada, a carga total
contida na cavidade induz uma carga
na superfície interna
e a combinação faz com que não haja campo fora do condutor (para
o campo é zero). Portanto o único campo não nulo está na região
e é dado acima.
Passo 4
Fórmula da densidade de energia eletrostática no vácuo e estratégia de integração.
A densidade de energia (energia por volume) do campo elétrico é
A energia total é a integral desta densidade sobre todo o espaço. Como
é não nulo somente em
, podemos escrever
Agora substituímos
e calculamos a integral passo a passo.
Passo 5
Substituição e cálculo da integral.
Primeiro escrever
:
Colocando na fórmula de
:
Simplificando constantes fora da integral:
Observando que
, fica
Integral direta:
Portanto
Passo 6
Expressão em termos da carga total
(opcional, útil para comparar com fórmulas conhecidas).
Recordando
, temos
. Substituindo em
:
Simplificando passo a passo:
(Verificação rápida: as simplificações dão
.)
Interpretacão física rápida: a energia é menor do que a energia de uma esfera uniformemente carregada isolada porque aqui o condutor aterrado anula o campo externo, confinando o campo (e portanto a energia) à parte interna.