10 Uma barra de material dielétrico é introduzida entre as placas de um dos dois capacitores iguais da Fig. 25-23. Determine se cada uma das propriedades do capacitor mencionadas a seguir aumenta, diminui ou permanece constante: (a) a capacitância; (b) a carga; (c) a diferença de potencial entre as placas; (d) a energia potencial. (e) Responda às mesmas perguntas para o outro capacitor.
Passo 1
O enunciado pede que, ao introduzir uma barra de material dielétrico entre as placas de um dos dois capacitores idênticos da Fig. 25-23, eu determine para cada capacitor se as seguintes grandezas aumentam, diminuem ou permanecem constantes:
(a) a capacitância; (b) a carga; (c) a diferença de potencial entre as placas; (d) a energia potencial.
(a) a capacitância; (b) a carga; (c) a diferença de potencial entre as placas; (d) a energia potencial.
Informações relevantes que o enunciado fornece explicitamente:
- Existem dois capacitores idênticos (mesma capacitância inicial).
- Uma barra dielétrica é introduzida entre as placas de apenas um deles.
- A figura mencionada (Fig. 25-23) não foi enviada aqui.
Observação importante: a resposta depende de como esses dois capacitores estão conectados (por exemplo: cada um ligado separadamente a uma fonte de tensão que permanece conectada; ou ambos isolados e ligados entre si; ou ligados em série, etc.). Como a figura não foi fornecida, eu não posso determinar univocamente qual é a situação física do problema. Por isso não há uma única resposta correta sem saber a conexão mostrada na figura.
Como isto é crucial para o resultado, nas próximas etapas eu vou:
- Explicar a física do que acontece quando se insere um dielétrico em um capacitor (fórmulas e raciocínio).
- Apresentar as respostas nos dois cenários mais comuns que costumam aparecer em provas (i) capacitores mantidos ligados a uma fonte de tensão que permanece conectada; (ii) capacitores isolados entre si (conectados em paralelo) e desconectados da fonte — mostrando passo a passo como chegar a cada conclusão. Assim você aprende o raciocínio e pode aplicar ao seu enunciado quando confirmar a figura.
Passo 2
Aula rápida sobre como o dielétrico afeta um capacitor (conceitos e fórmulas, bem mastigadas).
- Definição básica: a capacitância
de um capacitor paralelo-placa, sem dielétrico, é
onde
é a permissividade do vácuo,
é a área das placas e
a separação entre elas.
- Se inserimos um material dielétrico homogêneo entre as placas com constante dielétrica
(também escrita como ), a nova capacitância passa a ser
Ou seja, a capacitância aumenta por um fator
(onde
para materiais dielétricos usuais).
-
Relações elétricas úteis (você vai usar conforme o caso físico):
- Lei fundamental do capacitor:
, onde é a carga nas placas, a capacitância e a diferença de potencial (ddp) entre as placas. - Energia armazenada no capacitor (duas formas equivalentes):
Use a forma mais conveniente dependendo do que se mantém constante (seé fixo, use ; se é fixo, use ). - Lei fundamental do capacitor:
-
Intuição resumo:
- Inserir dielétrico aumenta
. - Se
for mantido fixo (por exemplo, capacitor ligado a uma bateria que continua conectada) então cresce e cresce (porque para fixo). - Se
for mantido fixo (por exemplo, capacitor isolado, sem caminho para carga escapar) então diminui ( ) e diminui ( para fixo).
- Inserir dielétrico aumenta
Passo 3
Caso A (situação 1 — a mais comum em muitos livros): os dois capacitores estão ambos conectados à mesma fonte de tensão (bateria) e a bateria permanece conectada durante a inserção do dielétrico. Em outras palavras, cada capacitor está diretamente ligado aos terminais da bateria e a ddp
fornecida pela bateria permanece constante.
Análise passo a passo para o capacitor onde o dielétrico é inserido:
- Capacitância: como vimos, a capacitância aumenta. Portanto (a) aumenta.
- Diferença de potencial entre as placas: com a bateria conectada, a ddp entre as placas é fixada pela bateria, então (c) permanece constante.
- Carga:
. Com constante e aumentando, aumenta. Logo (b) aumenta. - Energia: usar
. Com constante e aumentando, aumenta. Portanto (d) aumenta.
Análise para o outro capacitor (aquele que NÃO recebeu o dielétrico) nessa mesma situação:
- Capacitância: não mudou, portanto (a) permanece constante.
- Diferença de potencial: continua igual à tensão da bateria, (c) permanece constante.
- Carga:
. Como e permanecem iguais, permanece constante. Logo (b) permanece constante. - Energia:
permanece igual porque e constantes. Então (d) permanece constante.
Resumo do raciocínio: com a bateria conectada, cada capacitor sente a mesma tensão fixa; apenas o capacitor que ganhou
aumenta sua carga e energia porque sua
aumentou. O outro fica igual.
Passo 4
Caso B (situação 2 — outra situação muito frequente): os dois capacitores foram inicialmente carregados (por exemplo pela bateria) e depois desconectados da bateria, ficando isolados mas ainda conectados entre si (geralmente em paralelo, ou seja, seus terminais correspondentes ligados um ao outro). Em seguida insere-se o dielétrico em apenas um dos capacitores. Nesta situação o que se conserva é a carga total do sistema (a carga não pode sair para a bateria porque o circuito está aberto). Esse caso é típico em provas para mostrar redistribuição de carga.
Definições e notação:
- Capacitância inicial de cada capacitor:
. - Tensão inicial em cada capacitor antes da inserção:
. (Como eram idênticos e estavam em paralelo, tinham a mesma .) - Carga inicial em cada capacitor:
. - Após inserir dielétrico num deles, suas capacitâncias ficam:
- capacitor 1 (com dielétrico):
, - capacitor 2 (sem dielétrico):
.
- capacitor 1 (com dielétrico):
- A carga total inicial é
Essa carga total é conservada após a operação.
Calcular a nova tensão
comum aos dois (porque estão conectados em paralelo):
Observação: para
,
, ou seja, a ddp diminui.
Agora as cargas novas:
- Charge no capacitor com dielétrico:
Comparando com
:
Para
,
, então
aumenta em relação a
.
- Charge no capacitor sem dielétrico:
Comparação com
:
logo
diminui.
Energia: calcule a energia total antes e depois para ver o que ocorre.
- Energia inicial total:
- Energia final total:
Substituindo
e
,
Comparando com
, obtemos
Para
,
, portanto a energia total diminui. Isso faz sentido fisicamente: parte da energia é dissipada (por exemplo, em correntes de redistribuição até haver equilíbrio, que geram calor) ao redistribuir as cargas.
Resumindo para este caso (capacitores isolados entre si, carga total conservada):
- Capacitor que recebeu o dielétrico:
- (a) capacitância: aumenta.
- (b) carga: aumenta.
- (c) ddp entre as placas: diminui (porque
caiu). - (d) energia potencial armazenada: diminui (pois
com aumentou mas aumentou de modo que o cálculo acima mostra diminuição total).
- Outro capacitor (sem dielétrico):
- (a) capacitância: permanece constante.
- (b) carga: diminui (perdeu carga para o primeiro).
- (c) ddp entre as placas: diminui (mesma
comum). - (d) energia potencial: diminui (por
com diminuído).
Passo 5
Breve nota sobre outros arranjos (só para você ter noção e não se confundir na prova):
- Se os capacitores estiverem em série e a bateria permanecer conectada, a análise muda: em série a carga em cada capacitor é a mesma, então inserir o dielétrico muda como a tensão total se divide, podendo diminuir a tensão no capacitor com dielétrico (porque sua capacitância aumentou) e aumentar a tensão no outro; a energia é avaliada com cuidado. Como a figura não foi fornecida, não detalhei esse caso com números, mas o procedimento é o mesmo: identifique o que se conserva (tensão da bateria ou carga total ou carga em série) e aplique
e nas formas adequadas. - Regra prática para a prova: primeiro identifique se a ddp
fica fixa (fonte conectada), ou se a carga fica fixa (capacitor isolado), ou se a carga em série é a mesma. A partir daí use e ou para decidir.
Resposta
Observação: a figura não foi fornecida, portanto não é possível dar uma única resposta. Abaixo as respostas para os dois cenários mais comuns.
Se a bateria permanece conectada (cada capacitor ligado à fonte,
fixo):
Capacitor com dielétrico: (a) aumenta; (b) aumenta; (c) permanece constante; (d) aumenta.
Outro capacitor: (a) permanece constante; (b) permanece constante; (c) permanece constante; (d) permanece constante.
Capacitor com dielétrico: (a) aumenta; (b) aumenta; (c) permanece constante; (d) aumenta.
Outro capacitor: (a) permanece constante; (b) permanece constante; (c) permanece constante; (d) permanece constante.
Se os capacitores estão isolados do circuito (desconectados da bateria) e ligados entre si em paralelo (carga total conservada):
Capacitor com dielétrico: (a) aumenta; (b) aumenta; (c) diminui; (d) diminui.
Outro capacitor: (a) permanece constante; (b) diminui; (c) diminui; (d) diminui.
Capacitor com dielétrico: (a) aumenta; (b) aumenta; (c) diminui; (d) diminui.
Outro capacitor: (a) permanece constante; (b) diminui; (c) diminui; (d) diminui.