10 Uma barra de material dielétrico é introduzida entre as placas de um dos dois capacitores iguais da Fig. 25-23. Determine se cada uma das propriedades do capacitor mencionadas a seguir aumenta, diminui ou permanece constante: (a) a capacitância; (b) a carga; (c) a diferença de potencial entre as placas; (d) a energia potencial. (e) Responda às mesmas perguntas para o outro capacitor.

Passo 1

O enunciado pede que, ao introduzir uma barra de material dielétrico entre as placas de um dos dois capacitores idênticos da Fig. 25-23, eu determine para cada capacitor se as seguintes grandezas aumentam, diminuem ou permanecem constantes:
(a) a capacitância; (b) a carga; (c) a diferença de potencial entre as placas; (d) a energia potencial.
Informações relevantes que o enunciado fornece explicitamente:
  • Existem dois capacitores idênticos (mesma capacitância inicial).
  • Uma barra dielétrica é introduzida entre as placas de apenas um deles.
  • A figura mencionada (Fig. 25-23) não foi enviada aqui.
Observação importante: a resposta depende de como esses dois capacitores estão conectados (por exemplo: cada um ligado separadamente a uma fonte de tensão que permanece conectada; ou ambos isolados e ligados entre si; ou ligados em série, etc.). Como a figura não foi fornecida, eu não posso determinar univocamente qual é a situação física do problema. Por isso não há uma única resposta correta sem saber a conexão mostrada na figura.
Como isto é crucial para o resultado, nas próximas etapas eu vou:
  • Explicar a física do que acontece quando se insere um dielétrico em um capacitor (fórmulas e raciocínio).
  • Apresentar as respostas nos dois cenários mais comuns que costumam aparecer em provas (i) capacitores mantidos ligados a uma fonte de tensão que permanece conectada; (ii) capacitores isolados entre si (conectados em paralelo) e desconectados da fonte — mostrando passo a passo como chegar a cada conclusão. Assim você aprende o raciocínio e pode aplicar ao seu enunciado quando confirmar a figura.

Passo 2

Aula rápida sobre como o dielétrico afeta um capacitor (conceitos e fórmulas, bem mastigadas).
  • Definição básica: a capacitância C de um capacitor paralelo-placa, sem dielétrico, é
C_0 = \varepsilon_0 \frac{A}{d},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, A é a área das placas e d a separação entre elas.
  • Se inserimos um material dielétrico homogêneo entre as placas com constante dielétrica \kappa (também escrita como k), a nova capacitância passa a ser
C = \kappa C_0 = \kappa \varepsilon_0 \frac{A}{d}.
Ou seja, a capacitância aumenta por um fator \kappa (onde \kappa>1 para materiais dielétricos usuais).
  • Relações elétricas úteis (você vai usar conforme o caso físico):
    • Lei fundamental do capacitor: Q = C V, onde Q é a carga nas placas, C a capacitância e V a diferença de potencial (ddp) entre as placas.
    • Energia armazenada no capacitor (duas formas equivalentes):
    U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{Q^2}{2C}.
    Use a forma mais conveniente dependendo do que se mantém constante (se V é fixo, use \tfrac{1}{2} C V^2; se Q é fixo, use \tfrac{Q^2}{2C}).
  • Intuição resumo:
    • Inserir dielétrico aumenta C.
    • Se V for mantido fixo (por exemplo, capacitor ligado a uma bateria que continua conectada) então Q cresce e U cresce (porque U\propto C para V fixo).
    • Se Q for mantido fixo (por exemplo, capacitor isolado, sem caminho para carga escapar) então V diminui ( V=Q/C) e U diminui ( U\propto 1/C para Q fixo).

Passo 3

Caso A (situação 1 — a mais comum em muitos livros): os dois capacitores estão ambos conectados à mesma fonte de tensão (bateria) e a bateria permanece conectada durante a inserção do dielétrico. Em outras palavras, cada capacitor está diretamente ligado aos terminais da bateria e a ddp V fornecida pela bateria permanece constante.
Análise passo a passo para o capacitor onde o dielétrico é inserido:
  • Capacitância: como vimos, a capacitância aumenta. Portanto (a) aumenta.
  • Diferença de potencial entre as placas: com a bateria conectada, a ddp entre as placas é fixada pela bateria, então (c) permanece constante.
  • Carga: Q = C V. Com V constante e C aumentando, Q aumenta. Logo (b) aumenta.
  • Energia: usar U=\tfrac{1}{2} C V^2. Com V constante e C aumentando, U aumenta. Portanto (d) aumenta.
Análise para o outro capacitor (aquele que NÃO recebeu o dielétrico) nessa mesma situação:
  • Capacitância: não mudou, portanto (a) permanece constante.
  • Diferença de potencial: continua igual à tensão da bateria, (c) permanece constante.
  • Carga: Q=C V. Como C e V permanecem iguais, Q permanece constante. Logo (b) permanece constante.
  • Energia: U=\tfrac{1}{2} C V^2 permanece igual porque C e V constantes. Então (d) permanece constante.
Resumo do raciocínio: com a bateria conectada, cada capacitor sente a mesma tensão fixa; apenas o capacitor que ganhou \kappa aumenta sua carga e energia porque sua C aumentou. O outro fica igual.

Passo 4

Caso B (situação 2 — outra situação muito frequente): os dois capacitores foram inicialmente carregados (por exemplo pela bateria) e depois desconectados da bateria, ficando isolados mas ainda conectados entre si (geralmente em paralelo, ou seja, seus terminais correspondentes ligados um ao outro). Em seguida insere-se o dielétrico em apenas um dos capacitores. Nesta situação o que se conserva é a carga total do sistema (a carga não pode sair para a bateria porque o circuito está aberto). Esse caso é típico em provas para mostrar redistribuição de carga.
Definições e notação:
  • Capacitância inicial de cada capacitor: C_0.
  • Tensão inicial em cada capacitor antes da inserção: V_0. (Como eram idênticos e estavam em paralelo, tinham a mesma V_0.)
  • Carga inicial em cada capacitor: Q_0 = C_0 V_0.
  • Após inserir dielétrico num deles, suas capacitâncias ficam:
    • capacitor 1 (com dielétrico): C_1 = \kappa C_0,
    • capacitor 2 (sem dielétrico): C_2 = C_0.
  • A carga total inicial é
Q_{\text{tot}} = Q_0 + Q_0 = 2 C_0 V_0.
Essa carga total é conservada após a operação.
Calcular a nova tensão V comum aos dois (porque estão conectados em paralelo):
V = \frac{Q_{\text{tot}}}{C_1 + C_2} = \frac{2 C_0 V_0}{\kappa C_0 + C_0} = \frac{2 V_0}{\kappa + 1}.
Observação: para \kappa>1, V < V_0, ou seja, a ddp diminui.
Agora as cargas novas:
  • Charge no capacitor com dielétrico:
Q_1 = C_1 V = \kappa C_0 \cdot \frac{2 V_0}{\kappa + 1} = \frac{2\kappa}{\kappa+1} C_0 V_0.
Comparando com Q_0 = C_0 V_0:
\frac{Q_1}{Q_0} = \frac{2\kappa}{\kappa+1}.
Para \kappa>1, \frac{2\kappa}{\kappa+1} > 1, então Q_1 aumenta em relação a Q_0.
  • Charge no capacitor sem dielétrico:
Q_2 = C_2 V = C_0 \cdot \frac{2 V_0}{\kappa + 1} = \frac{2}{\kappa+1} C_0 V_0.
Comparação com Q_0:
\frac{Q_2}{Q_0} = \frac{2}{\kappa+1} < 1 \quad(\text{para }\kappa>1),
logo Q_2 diminui.
Energia: calcule a energia total antes e depois para ver o que ocorre.
  • Energia inicial total:
U_{\text{inicial}} = 2\cdot \frac{1}{2} C_0 V_0^2 = C_0 V_0^2.
  • Energia final total:
U_{\text{final}} = \frac{1}{2} C_1 V^2 + \frac{1}{2} C_2 V^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2.
Substituindo C_1+C_2 = (\kappa+1) C_0 e V = \dfrac{2 V_0}{\kappa+1},
U_{\text{final}} = \frac{1}{2} (\kappa+1) C_0 \left(\frac{2 V_0}{\kappa+1}\right)^2 = \frac{1}{2} (\kappa+1) C_0 \cdot \frac{4 V_0^2}{(\kappa+1)^2} = \frac{2}{\kappa+1} C_0 V_0^2.
Comparando com U_{\text{inicial}} = C_0 V_0^2, obtemos
\frac{U_{\text{final}}}{U_{\text{inicial}}} = \frac{2}{\kappa+1}.
Para \kappa>1, \dfrac{2}{\kappa+1}<1, portanto a energia total diminui. Isso faz sentido fisicamente: parte da energia é dissipada (por exemplo, em correntes de redistribuição até haver equilíbrio, que geram calor) ao redistribuir as cargas.
Resumindo para este caso (capacitores isolados entre si, carga total conservada):
  • Capacitor que recebeu o dielétrico:
    • (a) capacitância: aumenta.
    • (b) carga: aumenta.
    • (c) ddp entre as placas: diminui (porque V caiu).
    • (d) energia potencial armazenada: diminui (pois U=\tfrac{Q^2}{2C} com Q aumentou mas C aumentou de modo que o cálculo acima mostra diminuição total).
  • Outro capacitor (sem dielétrico):
    • (a) capacitância: permanece constante.
    • (b) carga: diminui (perdeu carga para o primeiro).
    • (c) ddp entre as placas: diminui (mesma V comum).
    • (d) energia potencial: diminui (por U=\tfrac{1}{2} C V^2 com V diminuído).

Passo 5

Breve nota sobre outros arranjos (só para você ter noção e não se confundir na prova):
  • Se os capacitores estiverem em série e a bateria permanecer conectada, a análise muda: em série a carga em cada capacitor é a mesma, então inserir o dielétrico muda como a tensão total se divide, podendo diminuir a tensão no capacitor com dielétrico (porque sua capacitância aumentou) e aumentar a tensão no outro; a energia é avaliada com cuidado. Como a figura não foi fornecida, não detalhei esse caso com números, mas o procedimento é o mesmo: identifique o que se conserva (tensão da bateria ou carga total ou carga em série) e aplique Q=CV e U nas formas adequadas.
  • Regra prática para a prova: primeiro identifique se a ddp V fica fixa (fonte conectada), ou se a carga Q fica fixa (capacitor isolado), ou se a carga em série é a mesma. A partir daí use Q=CV e U=\tfrac{1}{2}CV^2 ou U=\tfrac{Q^2}{2C} para decidir.

Resposta

Observação: a figura não foi fornecida, portanto não é possível dar uma única resposta. Abaixo as respostas para os dois cenários mais comuns.
Se a bateria permanece conectada (cada capacitor ligado à fonte, V fixo):
Capacitor com dielétrico: (a) aumenta; (b) aumenta; (c) permanece constante; (d) aumenta.
Outro capacitor: (a) permanece constante; (b) permanece constante; (c) permanece constante; (d) permanece constante.
Se os capacitores estão isolados do circuito (desconectados da bateria) e ligados entre si em paralelo (carga total conservada):
Capacitor com dielétrico: (a) aumenta; (b) aumenta; (c) diminui; (d) diminui.
Outro capacitor: (a) permanece constante; (b) diminui; (c) diminui; (d) diminui.

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