Um capacitor esférico formado por duas cascas esféricas condutoras concêntricas no vácuo. O condutor interno possui raio ra, está carregado com carga +Q e o condutor externo com carga -Q possui raio rb.
(a) Calcule a capacitância do capacitor esférico.
(b) Calcule a energia de um capacitor esférico utilizando a capacitância.
(c) Calcule a energia de um capacitor esférico utilizando a densidade de energia.
(a) Calcule a capacitância do capacitor esférico.
(b) Calcule a energia de um capacitor esférico utilizando a capacitância.
(c) Calcule a energia de um capacitor esférico utilizando a densidade de energia.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras concêntricas no vácuo. As informações fornecidas são:
- A casca interna tem raio
e carga . - A casca externa tem raio
e carga . - O espaço entre as cascas é vácuo (constante dieletrica
).
O enunciado pede:
(a) Calcular a capacitância do capacitor esférico.
(b) Calcular a energia do capacitor esférico utilizando a capacitância.
(c) Calcular a energia do capacitor esférico utilizando a densidade de energia do campo elétrico.
(a) Calcular a capacitância do capacitor esférico.
(b) Calcular a energia do capacitor esférico utilizando a capacitância.
(c) Calcular a energia do capacitor esférico utilizando a densidade de energia do campo elétrico.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar o campo elétrico
na região entre as cascas (
). Usamos a lei de Gauss (em vácuo): a integral do fluxo elétrico sobre uma superfície esférica de raio
contém a carga
da casca interna. A lei de Gauss em forma integral diz:
Escolhendo uma superfície gaussiana esférica de raio
(concentricamente), por simetria
é radial e constante em módulo nessa superfície, e
tem magnitude
apontando radialmente. A integral fica
Isolando
obtemos:
Aqui
é o módulo do campo elétrico radial (direção para fora se
). Expliquei:
é a carga contida dentro da superfície gaussiana;
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora calculamos a diferença de potencial elétrico entre as duas cascas, chamada normalmente de
(diferença entre potencial da casca interna e da externa). Lembrando que a diferença de potencial entre dois pontos
e
pode ser obtida por
Tomando o caminho radial entre
e
e usando
do passo anterior, temos
Como
é radial e
na linha radial tem sinal positivo para aumento de
, o produto escalar
com o sinal aplicado dá, substituindo
:
Fazendo a integral:
Portanto a diferença de potencial entre a casca interna e a externa é
Comentário prático: se
(casca externa muito distante), a expressão reduz para a do potencial de uma esfera isolada
.
Passo 4
A capacitância
é definida como a razão entre a carga
e a diferença de potencial
entre os condutores:
Substituindo
obtido no passo anterior:
Fazendo a manipulação algébrica do denominador:
Logo a capacitância fica
Essa é a resposta para a parte (a). Interpretação rápida: quanto mais próximas as cascas (menor
), maior a capacitância; maior área efetiva (produto
) também aumenta
.
Passo 5
Agora calculamos a energia armazenada no capacitor usando a capacitância. Uma fórmula muito usada é
que resulta das relações energéticas para capacitores (também equivalente a
ou
). Substituindo
do passo anterior:
Agrupando:
Observação matemática útil:
, então também podemos escrever
Essas expressões são algebraicamente equivalentes; essa é a energia do capacitor expressa em função de
,
e
. Isto responde a (b) pedindo energia utilizando a capacitância.
Passo 6
Agora calculamos a energia usando a densidade de energia do campo elétrico. A densidade volumétrica de energia elétrica no vácuo é
onde
tem unidades de energia por volume e
é o módulo do campo em cada ponto. A energia total armazenada é a integral dessa densidade sobre o volume onde o campo existe (a região entre as cascas
):
Usando coordenadas esféricas, o elemento de volume é
e
do passo 2 é
. Substituindo:
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro escrever o integrando:
Multiplicando pelo factor
fora da integral:
Portanto a integral fica
Calculando a integral:
Logo
Essa expressão coincide exatamente com a obtida no passo 5 (usando a capacitância), mostrando a consistência das duas formas de calcular a energia. Assim respondemos (c).
Passo 7
Resumo didático final (curto e motivador):
- A obtenção do campo por Gauss e a integração para obter o potencial são caminhos padrão em problemas com simetria esférica — sempre que a distribuição for esférica, escolher uma superfície gaussiana esférica simplifica muito.
- A relação entre carga, potencial e capacitância é direta:
. Para energia, pode-se usar , ou ; todas dão o mesmo valor. A integração da densidade de energia do campo é outra forma física intuitiva (soma da energia presente no campo no espaço). - Força moral: deu trabalho, mas o procedimento é sempre o mesmo em problemas parecidos — achar
por simetria/Gauss, integrar para , e usar definições de e . Vai bem na prova!
Resposta
(a)
(b)
(usando a capacitância).
(c)
(usando a densidade de energia).