Um capacitor esférico formado por duas cascas esféricas condutoras concêntricas no vácuo. O condutor interno possui raio ra, está carregado com carga +Q e o condutor externo com carga -Q possui raio rb.
(a) Calcule a capacitância do capacitor esférico.
(b) Calcule a energia de um capacitor esférico utilizando a capacitância.
(c) Calcule a energia de um capacitor esférico utilizando a densidade de energia.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras concêntricas no vácuo. As informações fornecidas são:
  • A casca interna tem raio r_a e carga +Q.
  • A casca externa tem raio r_b e carga -Q.
  • O espaço entre as cascas é vácuo (constante dieletrica \varepsilon_0).
O enunciado pede:
(a) Calcular a capacitância do capacitor esférico.
(b) Calcular a energia do capacitor esférico utilizando a capacitância.
(c) Calcular a energia do capacitor esférico utilizando a densidade de energia do campo elétrico.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar o campo elétrico \mathbf{E} na região entre as cascas ( r_a<r<r_b). Usamos a lei de Gauss (em vácuo): a integral do fluxo elétrico sobre uma superfície esférica de raio r contém a carga Q da casca interna. A lei de Gauss em forma integral diz:
\oint_{\text{superf}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Escolhendo uma superfície gaussiana esférica de raio r (concentricamente), por simetria \mathbf{E} é radial e constante em módulo nessa superfície, e d\mathbf{A} tem magnitude r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi apontando radialmente. A integral fica
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
Isolando E(r) obtemos:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2},\qquad \text{para } r_a<r<r_b.
Aqui E(r) é o módulo do campo elétrico radial (direção para fora se Q>0). Expliquei: Q_{\text{int}}=Q é a carga contida dentro da superfície gaussiana; \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora calculamos a diferença de potencial elétrico entre as duas cascas, chamada normalmente de V (diferença entre potencial da casca interna e da externa). Lembrando que a diferença de potencial entre dois pontos a e b pode ser obtida por
V(a)-V(b) = -\int_b^a \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}.
Tomando o caminho radial entre r_b e r_a e usando E(r) do passo anterior, temos
V \equiv V(r_a)-V(r_b) = -\int_{r_b}^{r_a} E(r)\,dr.
Como \mathbf{E} é radial e d\mathbf{r} na linha radial tem sinal positivo para aumento de r, o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}=E(r)\,dr com o sinal aplicado dá, substituindo E(r):
V = -\int_{r_b}^{r_a} \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,dr.
Fazendo a integral:
V = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_b}^{r_a} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right).
Portanto a diferença de potencial entre a casca interna e a externa é
V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right).
Comentário prático: se r_b\to\infty (casca externa muito distante), a expressão reduz para a do potencial de uma esfera isolada \,V=Q/(4\pi\varepsilon_0 r_a)\,.

Passo 4

A capacitância C é definida como a razão entre a carga Q e a diferença de potencial V entre os condutores:
C=\frac{Q}{V}.
Substituindo V obtido no passo anterior:
C=\frac{Q}{\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}\right)} = \frac{4\pi\varepsilon_0}{\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}}.
Fazendo a manipulação algébrica do denominador:
\frac{1}{\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}}=\frac{1}{\dfrac{r_b-r_a}{r_a r_b}}=\frac{r_a r_b}{r_b-r_a}.
Logo a capacitância fica
C = 4\pi\varepsilon_0\frac{r_a r_b}{r_b-r_a}.
Essa é a resposta para a parte (a). Interpretação rápida: quanto mais próximas as cascas (menor r_b-r_a), maior a capacitância; maior área efetiva (produto r_a r_b) também aumenta C.

Passo 5

Agora calculamos a energia armazenada no capacitor usando a capacitância. Uma fórmula muito usada é
U=\frac{Q^2}{2C},
que resulta das relações energéticas para capacitores (também equivalente a \tfrac{1}{2}CV^2 ou \tfrac{1}{2}QV). Substituindo C do passo anterior:
U=\frac{Q^2}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{r_b-r_a}{r_a r_b}.
Agrupando:
U=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{r_b-r_a}{r_a r_b}\right).
Observação matemática útil: \dfrac{r_b-r_a}{r_a r_b}=\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}, então também podemos escrever
U=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right).
Essas expressões são algebraicamente equivalentes; essa é a energia do capacitor expressa em função de Q, r_a e r_b. Isto responde a (b) pedindo energia utilizando a capacitância.

Passo 6

Agora calculamos a energia usando a densidade de energia do campo elétrico. A densidade volumétrica de energia elétrica no vácuo é
u(\mathbf{r})=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2(\mathbf{r}),
onde u tem unidades de energia por volume e E é o módulo do campo em cada ponto. A energia total armazenada é a integral dessa densidade sobre o volume onde o campo existe (a região entre as cascas r_a\le r\le r_b):
U=\int_{\text{volume}} u(\mathbf{r})\,dV = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int_{r_a}^{r_b} E(r)^2 \, dV.
Usando coordenadas esféricas, o elemento de volume é dV=4\pi r^2 dr e E(r) do passo 2 é \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}. Substituindo:
U=\frac{1}{2}\varepsilon_0 \int_{r_a}^{r_b} \left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\right)^2 4\pi r^2\,dr.
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro escrever o integrando:
\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\right)^2 4\pi r^2 = \frac{Q^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2}\cdot \frac{4\pi r^2}{r^4} = \frac{Q^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2}\cdot \frac{4\pi}{r^2}.
Multiplicando pelo factor \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 fora da integral:
\frac{1}{2}\varepsilon_0\cdot \frac{Q^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2}\cdot 4\pi = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}.
Portanto a integral fica
U=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\int_{r_a}^{r_b}\frac{1}{r^2}\,dr.
Calculando a integral:
\int_{r_a}^{r_b}\frac{1}{r^2}\,dr = \left[-\frac{1}{r}\right]_{r_a}^{r_b} = \frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}.
Logo
U=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right).
Essa expressão coincide exatamente com a obtida no passo 5 (usando a capacitância), mostrando a consistência das duas formas de calcular a energia. Assim respondemos (c).

Passo 7

Resumo didático final (curto e motivador):
  • A obtenção do campo por Gauss e a integração para obter o potencial são caminhos padrão em problemas com simetria esférica — sempre que a distribuição for esférica, escolher uma superfície gaussiana esférica simplifica muito.
  • A relação entre carga, potencial e capacitância é direta: C=Q/V. Para energia, pode-se usar \tfrac{1}{2}CV^2, \tfrac{1}{2}QV ou \tfrac{Q^2}{2C}; todas dão o mesmo valor. A integração da densidade de energia do campo é outra forma física intuitiva (soma da energia presente no campo no espaço).
  • Força moral: deu trabalho, mas o procedimento é sempre o mesmo em problemas parecidos — achar E por simetria/Gauss, integrar para V, e usar definições de C e U. Vai bem na prova!

Resposta

(a) C = 4\pi\varepsilon_0\displaystyle\frac{r_a r_b}{r_b-r_a}.
(b) U=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\displaystyle\left(\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}\right) (usando a capacitância).
(c) U=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\displaystyle\left(\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}\right) (usando a densidade de energia).

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