Uma esfera isolante possui campo interno
. Determine
para
.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico dentro de uma esfera isolante (para
):
O que se pede: determinar a função potencial
para
.
Informações relevantes dadas:
- Dado do enunciado:
para . - A constante
é a densidade volumétrica de carga (assume-se uniforme). - É normalmente adotada a referência
(vou usar essa referência, que é a escolha padrão).
Passo 2
Relação entre campo elétrico e potencial (aulas rápidas):
- O potencial elétrico
e o campo elétrico estão relacionados por
- No caso de simetria esférica, o potencial depende só de
e o gradiente radial fica
Aqui
é a componente radial do campo,
é a distância ao centro, e
é o potencial escalar.
Passo 3
Integração direta para obter
(forma geral dentro da esfera):
- Usando
e substituindo , temos
- Isolando
e integrando:
- Executando a integral:
onde
é uma constante de integração que precisamos determinar usando condições de contorno (continuidade do potencial em
e a referência
).
Passo 4
Determinar a constante
usando o potencial fora da esfera (calcular
para
com
):
- Primeiro obtenha o campo fora da esfera por Lei de Gauss. A carga total da esfera de raio
é
- Para
, o campo é o de uma carga pontual no centro:
- Com
, integra-se para obter fora:
Integração de
até
dá
Logo, para
,
Passo 5
Aplicar continuidade do potencial em
para achar
:
- O potencial deve ser contínuo em
, então
- Avaliando
:
- Avaliando
. Igualando:
- Resolvendo para
:
Passo 6
Escrever a expressão final de
para
e verificar (checagem rápida):
- Substituindo
em :
- Verificação rápida: derivando
recupera , e em o valor coincide com , como esperado. - Observação: com a escolha
, esta é a expressão absoluta do potencial; poderia ser adicionada uma constante arbitrária se outra referência fosse escolhida.