Uma esfera isolante possui campo interno \vec{E}=\frac{\rho r}{3 \epsilon_{0}} \hat{r}. Determine V(r) para r<R.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico dentro de uma esfera isolante (para r<R):
\vec{E}(r)=\frac{\rho\, r}{3\epsilon_{0}}\,\hat{r}.
O que se pede: determinar a função potencial V(r) para r<R.
Informações relevantes dadas:
  • Dado do enunciado: \vec{E}(r)=\dfrac{\rho r}{3\epsilon_{0}}\hat{r} para r<R.
  • A constante \rho é a densidade volumétrica de carga (assume-se uniforme).
  • É normalmente adotada a referência V(\infty)=0 (vou usar essa referência, que é a escolha padrão).

Passo 2

Relação entre campo elétrico e potencial (aulas rápidas):
  • O potencial elétrico V(\vec r) e o campo elétrico \vec E(\vec r) estão relacionados por
\vec{E}(\vec r)=-\nabla V(\vec r).
  • No caso de simetria esférica, o potencial depende só de r e o gradiente radial fica
\vec{E}(r)=E_r(r)\,\hat{r} \quad\text{com}\quad E_r(r)=-\frac{dV}{dr}.
Aqui E_r(r) é a componente radial do campo, r é a distância ao centro, e V(r) é o potencial escalar.

Passo 3

Integração direta para obter V(r) (forma geral dentro da esfera):
  • Usando E_r(r)=-\dfrac{dV}{dr} e substituindo E_r(r)=\dfrac{\rho r}{3\epsilon_0}, temos
-\frac{dV}{dr}=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}.
  • Isolando dV/dr e integrando:
\frac{dV}{dr}=-\frac{\rho r}{3\epsilon_0} \quad\Rightarrow\quad V(r)=-\int \frac{\rho r}{3\epsilon_0}\,dr + C.
  • Executando a integral:
V(r)=-\frac{\rho}{3\epsilon_0}\cdot\frac{r^2}{2}+C =-\frac{\rho r^2}{6\epsilon_0}+C,
onde C é uma constante de integração que precisamos determinar usando condições de contorno (continuidade do potencial em r=R e a referência V(\infty)=0).

Passo 4

Determinar a constante C usando o potencial fora da esfera (calcular V para r\ge R com V(\infty)=0):
  • Primeiro obtenha o campo fora da esfera por Lei de Gauss. A carga total da esfera de raio R é
Q=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3.
  • Para r\ge R, o campo é o de uma carga pontual Q no centro:
E_r(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2} =\frac{\rho(4/3)\pi R^3}{4\pi\epsilon_0 r^2} =\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}.
  • Com V(\infty)=0, integra-se E_r para obter V fora:
\frac{dV}{dr}=-E_r(r)=-\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}.
Integração de \infty até r
V(r)= -\int_{\infty}^{r}\! \left(-\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r'^2}\right) dr' = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r}.
Logo, para r\ge R,
V_{\text{out}}(r)=\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r}.

Passo 5

Aplicar continuidade do potencial em r=R para achar C:
  • O potencial deve ser contínuo em r=R, então
V_{\text{in}}(R)=V_{\text{out}}(R).
  • Avaliando V_{\text{out}}(R):
V_{\text{out}}(R)=\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 R}=\frac{\rho R^2}{3\epsilon_0}.
  • Avaliando V_{\text{in}}(R)=-\dfrac{\rho R^2}{6\epsilon_0}+C. Igualando:
-\frac{\rho R^2}{6\epsilon_0}+C=\frac{\rho R^2}{3\epsilon_0}.
  • Resolvendo para C:
C=\frac{\rho R^2}{3\epsilon_0}+\frac{\rho R^2}{6\epsilon_0} =\frac{\rho R^2}{2\epsilon_0}.

Passo 6

Escrever a expressão final de V(r) para r<R e verificar (checagem rápida):
  • Substituindo C em V_{\text{in}}(r)=-\dfrac{\rho r^2}{6\epsilon_0}+C:
V(r)=-\frac{\rho r^2}{6\epsilon_0}+\frac{\rho R^2}{2\epsilon_0} =\frac{\rho}{6\epsilon_0}\bigl(3R^2-r^2\bigr).
  • Verificação rápida: derivando -dV/dr recupera E_r=\dfrac{\rho r}{3\epsilon_0}, e em r=R o valor coincide com V_{\text{out}}(R)=\dfrac{\rho R^2}{3\epsilon_0}, como esperado.
  • Observação: com a escolha V(\infty)=0, esta é a expressão absoluta do potencial; poderia ser adicionada uma constante arbitrária se outra referência fosse escolhida.

Resposta

V(r)=\frac{\rho}{6\epsilon_{0}}\bigl(3R^{2}-r^{2}\bigr)\quad\text{para }r<R.

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