Considere uma casca esférica condutora de raio R. Calcule V(r) integrando o campo desde o infinito para as regiões r>R e r<R. Discuta por que V é constante no interior.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Temos uma casca esférica condutora de raio R. Suponho que a casca carrega uma carga total \,Q situada na superfície (isso é a situação padrão para uma casca condutora neutra/isolada com carga).
  • Tomaremos a referência do potencial como V(\infty)=0 (o enunciado pede integrar a partir do infinito).
  • O que pedir: calcular V(r) para as duas regiões
    • r>R (fora da casca);
    • r<R (no interior da casca, dentro do espaço oco).
  • Também pedir para discutir por que V é constante no interior.
Nada mais será assumido além do enunciado e do fato físico conhecido: em equilíbrio eletrostático a carga de um condutor reside na superfície e o campo elétrico dentro do material condutor é nulo.

Passo 2

Encontrar o campo elétrico \vec E(r) fora da casca ( r>R) usando a simetria esférica e a Lei de Gauss.
  • Pela simetria esférica, \vec E é radial e depende só de r: \vec E(r)=E(r)\,\hat r.
  • A Lei de Gauss em forma integral diz: \oint_{S} \vec E\cdot d\vec A = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.Escolhemos a superfície gaussiana como uma esfera de raio r>R. A área dessa esfera é 4\pi r^2 e \vec E tem módulo constante sobre ela e é paralelo a d\vec A. Então E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E(r), E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2},\qquad (r>R).
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Calcular V(r) para r>R integrando o campo desde o infinito.
  • Definição de potencial (referência em infinito): V(r)=-\int_{\infty}^{r}\vec E\cdot d\vec l.Como \vec E é radial, escolher um caminho radial simplifica: d\vec l = dr'\,\hat r e \vec E\cdot d\vec l = E(r')\,dr'.
  • Substituindo E(r') e integrando: V(r)=-\int_{\infty}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r'^2}\,dr' = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\infty}^{r}\frac{1}{r'^2}\,dr'.
  • Calcule a integral (lembrando \int r'^{-2}dr'=-r'^{-1}): -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[ -\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r} = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{r} - 0\right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}.
  • Assim: V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r},\qquad (r>R),que é exatamente o potencial de uma carga pontual Q no centro.

Passo 4

Determinar o campo elétrico \vec E(r) no interior ( r<R) usando Gauss.
  • Para uma esfera de raio r<R (dentro do espaço oco da casca) a carga envolvida por uma superfície gaussiana esférica centrada é Q_{\text{int}}=0, porque toda a carga reside na superfície da casca (raio R). Aplicando Gauss: E(r)\,4\pi r^2 = \frac{0}{\varepsilon_0}=0.
  • Logo E(r)=0,\qquad (r<R).
Além disso, se a região r<R for material condutor (espessura da casca), em equilíbrio eletrostático também vale E=0 no interior do condutor; para a casca oca a afirmação acima decorre diretamente da Lei de Gauss.

Passo 5

Calcular V(r) para r<R integrando desde o infinito e usando o fato de que E=0 dentro.
  • Escrevemos a integral de \infty até r<R em duas etapas: V(r)=-\int_{\infty}^{r}\vec E\cdot d\vec l = -\int_{\infty}^{R}\vec E\cdot d\vec l \;-\;\int_{R}^{r}\vec E\cdot d\vec l.
  • Para o trecho \infty\to R usamos o resultado do passo 3: esse é exatamente V(R). Para o trecho R\to r, dentro da casca, temos E=0 (passo 4), então a segunda integral é zero: -\int_{R}^{r}\vec E\cdot d\vec l = -\int_{R}^{r}0\,dr'=0.
  • Então V(r)=V(R) para todo r<R. Calculando V(R) com a fórmula externa: V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}.
  • Portanto V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R},\qquad (r<R).

Passo 6

Discussão física: por que V é constante no interior?
  • Relação entre campo e potencial: \vec E = -\nabla V. Se \vec E=\vec 0 numa região então \nabla V=\vec 0, ou seja, o potencial não varia localmente — é constante naquela região.
  • Em um condutor em equilíbrio eletrostático, os portadores de carga se reorganizam até que o campo elétrico no interior do material seja nulo; por isso o interior de um condutor é um volume equipotencial.
  • No caso da casca oca, não há carga no interior, e a Lei de Gauss dá E=0 para r<R; consequentemente o potencial é uniforme dentro do buraco. A constante é fixada pelo valor do potencial na superfície, que é dada pela carga total sobre a casca.

Resposta

V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r}\quad (r>R)\n
V(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{R}\quad (r<R)

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