Considere uma casca esférica condutora de raio
. Calcule
integrando o campo desde o infinito para as regiões
e
. Discuta por que
é constante no interior.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado pede e as informações dadas.
- Temos uma casca esférica condutora de raio
. Suponho que a casca carrega uma carga total situada na superfície (isso é a situação padrão para uma casca condutora neutra/isolada com carga). - Tomaremos a referência do potencial como
(o enunciado pede integrar a partir do infinito). - O que pedir: calcular
para as duas regiões -
(fora da casca); -
(no interior da casca, dentro do espaço oco).
-
- Também pedir para discutir por que
é constante no interior.
Nada mais será assumido além do enunciado e do fato físico conhecido: em equilíbrio eletrostático a carga de um condutor reside na superfície e o campo elétrico dentro do material condutor é nulo.
Passo 2
Encontrar o campo elétrico
fora da casca (
) usando a simetria esférica e a Lei de Gauss.
- Pela simetria esférica,
é radial e depende só de : . - A Lei de Gauss em forma integral diz:
Escolhemos a superfície gaussiana como uma esfera de raio . A área dessa esfera é e tem módulo constante sobre ela e é paralelo a . Então - Isolando
,
Aqui
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Calcular
para
integrando o campo desde o infinito.
- Definição de potencial (referência em infinito):
Como é radial, escolher um caminho radial simplifica: e . - Substituindo
e integrando: - Calcule a integral (lembrando
): - Assim:
que é exatamente o potencial de uma carga pontual no centro.
Passo 4
Determinar o campo elétrico
no interior (
) usando Gauss.
- Para uma esfera de raio
(dentro do espaço oco da casca) a carga envolvida por uma superfície gaussiana esférica centrada é , porque toda a carga reside na superfície da casca (raio ). Aplicando Gauss: - Logo
Além disso, se a região
for material condutor (espessura da casca), em equilíbrio eletrostático também vale
no interior do condutor; para a casca oca a afirmação acima decorre diretamente da Lei de Gauss.
Passo 5
Calcular
para
integrando desde o infinito e usando o fato de que
dentro.
- Escrevemos a integral de
até em duas etapas: - Para o trecho
usamos o resultado do passo 3: esse é exatamente . Para o trecho , dentro da casca, temos (passo 4), então a segunda integral é zero: - Então
para todo . Calculando com a fórmula externa: - Portanto
Passo 6
Discussão física: por que
é constante no interior?
- Relação entre campo e potencial:
. Se numa região então , ou seja, o potencial não varia localmente — é constante naquela região. - Em um condutor em equilíbrio eletrostático, os portadores de carga se reorganizam até que o campo elétrico no interior do material seja nulo; por isso o interior de um condutor é um volume equipotencial.
- No caso da casca oca, não há carga no interior, e a Lei de Gauss dá
para ; consequentemente o potencial é uniforme dentro do buraco. A constante é fixada pelo valor do potencial na superfície, que é dada pela carga total sobre a casca.