Um capacitor de 4,0 \mu \mathrm{~F} é carregado a 24 V e, então, conectado a um resistor de 200 \Omega. Determine (a) a carga inicial no capacitor, (b) a corrente inicial no resistor de 200 \Omega, (c) a constante de tempo e (d) a carga no capacitor após 4,0 \mathrm{~ms}.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor e um resistor e pede quatro coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido, para a gente não se perder.
Dados:
C = 4,0\\ \mu\mathrm{F}
V_0 = 24\\ \mathrm{V}
R = 200\\ \Omega
Perguntas (o que precisamos determinar):
(a) a carga inicial no capacitor (ou seja, imediatamente antes de conectar ao resistor);
(b) a corrente inicial no resistor, no instante t=0 logo após conectar;
(c) a constante de tempo do circuito RC;
(d) a carga no capacitor após 4,0\\ \mathrm{ms}.
Agora vamos resolver passo a passo — com calma, explicando cada fórmula e cada conversão de unidade.

Passo 2

(a) Cálculo da carga inicial Q_0.
Conceito e fórmula: a carga armazenada num capacitor é dada por
Q = C\,V,
onde Q é a carga em coulombs, C é a capacitância em farads e V é a diferença de potencial em volts. Essa fórmula vem da definição de capacitância: C=Q/V.
Primeiro converto a capacitância para unidades do SI (farads):
C = 4,0\\ \mu\mathrm{F} = 4,0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Agora aplico a fórmula:
Q_0 = C\,V_0 = \left(4,0\times10^{-6}\right)\cdot 24.
Faço a multiplicação passo a passo:
4,0\times24 = 96,
portanto
Q_0 = 96\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 9,6\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
Também é comum expressar em microcoulombs:
Q_0 = 96\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 3

(b) Cálculo da corrente inicial I_0.
Conceito e raciocínio físico: no instante imediatamente após conectar o capacitor carregado ao resistor (assumindo fios ideais), a tensão no capacitor vale V_0. Essa tensão aparece através do resistor, e pela Lei de Ohm a corrente inicial é I_0=V_0/R. Intuitivamente, o capacitor fornece uma tensão inicial de 24\\ \mathrm{V} e a corrente inicial responde instantaneamente segundo Ohm.
Fórmula:
I_0 = \frac{V_0}{R}.
Substituindo números:
I_0 = \frac{24}{200} = 0,12\\ \mathrm{A}.
Direção: essa corrente é a corrente de descarga — ela faz a carga no capacitor diminuir com o tempo.

Passo 4

(c) Cálculo da constante de tempo \tau.
Conceito: a constante de tempo de um circuito RC é
\tau = R\,C.
Ela mede a rapidez com que a carga (e a corrente e a tensão) decaem exponencialmente: após um tempo \tau a carga terá caído para cerca de 1/e (≈ 36,8%) do valor inicial.
Calculo numérico (usando C em farads):
\tau = 200\cdot\left(4,0\times10^{-6}\right) = 8,0\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
Converto para milissegundos para ficar mais intuitivo:
8,0\times10^{-4}\\ \mathrm{s} = 0,8\\ \mathrm{ms}.
Então a constante de tempo é \tau = 8,0\times10^{-4}\\ \mathrm{s} = 0,8\\ \mathrm{ms}.

Passo 5

(d) Carga no capacitor após t=4,0\\ \mathrm{ms}.
Derivação da fórmula de descarga (explicando sem pular etapas):
  • Seja Q(t) a carga no capacitor no instante t. A corrente no circuito é a taxa de variação da carga: por convenção de descarga usamos i(t) = -\dfrac{dQ}{dt} (o sinal menos indica que a carga diminui quando há corrente de descarga).
  • A tensão no capacitor é V_C(t)=\dfrac{Q(t)}{C}.
  • Pela Lei de Ohm, a tensão no resistor é V_R(t)=i(t)R.
  • Num laço fechado sem fonte externa, a soma das quedas de tensão é zero; portanto V_R(t)+V_C(t)=0. Substituindo i(t)
R\left(-\frac{dQ}{dt}\right)+\frac{Q}{C}=0.
  • Rearranjando:
\frac{dQ}{dt} = -\frac{Q}{RC}.
Essa é uma equação diferencial simples e padrão, cuja solução (separando variáveis) é
Q(t) = Q_0\,e^{-t/(RC)} = Q_0\,e^{-t/\tau}.
Agora aplico isso aos números dados.
Calculo de t/\tau:
t = 4,0\\ \mathrm{ms} = 4,0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
\tau = 8,0\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
\frac{t}{\tau} = \frac{4,0\times10^{-3}}{8,0\times10^{-4}} = 5.
Portanto
Q(4{,}0\\ \mathrm{ms}) = Q_0\,e^{-5}.
Já temos Q_0 = 96\\ \mu\mathrm{C}. Uso a aproximação e^{-5}\approx 0,0067379.
Multiplicando:
Q(4{,}0\\ \mathrm{ms}) = 96\cdot 0,0067379\\ \mu\mathrm{C}\approx 0,647\\ \mu\mathrm{C}.
Em coulombs:
Q(4{,}0\\ \mathrm{ms}) \approx 0,647\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 6,47\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
Interpretação rápida: depois de 4{,}0\\ \mathrm{ms} o circuito passou por 5 constantes de tempo (porque 4{,}0\\ \mathrm{ms}=5\tau), e e^{-5} é bem pequeno, então a carga remanescente é uma fração muito pequena da inicial.

Resposta

(a) Q_0 = 9,6\times10^{-5}\\ \mathrm{C} = 96\\ \mu\mathrm{C}
(b) I_0 = 0,12\\ \mathrm{A}
(c) \tau = R C = 8,0\times10^{-4}\\ \mathrm{s} = 0,8\\ \mathrm{ms}
(d) Q(4{,}0\\ \mathrm{ms}) \approx 6,47\times10^{-7}\\ \mathrm{C} = 0,647\\ \mu\mathrm{C}

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