Um capacitor de
é carregado a 24 V e, então, conectado a um resistor de
. Determine (a) a carga inicial no capacitor, (b) a corrente inicial no resistor de
, (c) a constante de tempo e (d) a carga no capacitor após
.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor e um resistor e pede quatro coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido, para a gente não se perder.
Dados:
Perguntas (o que precisamos determinar):
(a) a carga inicial no capacitor (ou seja, imediatamente antes de conectar ao resistor);
(b) a corrente inicial no resistor, no instante logo após conectar;
(c) a constante de tempo do circuito ;
(d) a carga no capacitor após .
(a) a carga inicial no capacitor (ou seja, imediatamente antes de conectar ao resistor);
(b) a corrente inicial no resistor, no instante
(c) a constante de tempo do circuito
(d) a carga no capacitor após
Agora vamos resolver passo a passo — com calma, explicando cada fórmula e cada conversão de unidade.
Passo 2
(a) Cálculo da carga inicial
.
Conceito e fórmula: a carga armazenada num capacitor é dada por
onde
é a carga em coulombs,
é a capacitância em farads e
é a diferença de potencial em volts. Essa fórmula vem da definição de capacitância:
.
Primeiro converto a capacitância para unidades do SI (farads):
Agora aplico a fórmula:
Faço a multiplicação passo a passo:
portanto
Também é comum expressar em microcoulombs:
Passo 3
(b) Cálculo da corrente inicial
.
Conceito e raciocínio físico: no instante imediatamente após conectar o capacitor carregado ao resistor (assumindo fios ideais), a tensão no capacitor vale
. Essa tensão aparece através do resistor, e pela Lei de Ohm a corrente inicial é
. Intuitivamente, o capacitor fornece uma tensão inicial de
e a corrente inicial responde instantaneamente segundo Ohm.
Fórmula:
Substituindo números:
Direção: essa corrente é a corrente de descarga — ela faz a carga no capacitor diminuir com o tempo.
Passo 4
(c) Cálculo da constante de tempo
.
Conceito: a constante de tempo de um circuito
é
Ela mede a rapidez com que a carga (e a corrente e a tensão) decaem exponencialmente: após um tempo
a carga terá caído para cerca de
(≈ 36,8%) do valor inicial.
Calculo numérico (usando
em farads):
Converto para milissegundos para ficar mais intuitivo:
Então a constante de tempo é
.
Passo 5
(d) Carga no capacitor após
.
Derivação da fórmula de descarga (explicando sem pular etapas):
- Seja
a carga no capacitor no instante . A corrente no circuito é a taxa de variação da carga: por convenção de descarga usamos (o sinal menos indica que a carga diminui quando há corrente de descarga). - A tensão no capacitor é
. - Pela Lei de Ohm, a tensão no resistor é
. - Num laço fechado sem fonte externa, a soma das quedas de tensão é zero; portanto
. Substituindo dá
- Rearranjando:
Essa é uma equação diferencial simples e padrão, cuja solução (separando variáveis) é
Agora aplico isso aos números dados.
Calculo de
:
Portanto
Já temos
. Uso a aproximação
.
Multiplicando:
Em coulombs:
Interpretação rápida: depois de
o circuito passou por
constantes de tempo (porque
), e
é bem pequeno, então a carga remanescente é uma fração muito pequena da inicial.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)