Determine a massa de um avião viajando a 720 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, a uma altura de 3000 m do solo, cuja energia mecânica total é de 70 \times 10^{6} \mathrm{~J}. Considere a energia potencial gravitacional como zero no solo. ( \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
a) 1000 kg
b) 1400 kg
c) 2800 kg
d) 5000 kg
e) 10000 kg

Passo 1

O enunciado pede para determinar a massa do avião. Dados fornecidos:
  • velocidade: v = 720\\ \mathrm{km/h},
  • altitude (referida ao solo): h = 3000\\ \mathrm{m},
  • energia mecânica total: E_{\text{total}} = 70\times 10^{6}\\ \mathrm{J},
  • aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Pergunta: calcular a massa m do avião, sabendo que a energia potencial gravitacional é zero no solo.

Passo 2

Primeiro convertemos a velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A regra é multiplicar por 1000/3600:
v = 720\\ \mathrm{km/h} = 720\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos:
v = 720\cdot\frac{1000}{3600}=720\cdot\frac{10}{36}=720\cdot\frac{5}{18}.
Dividindo 720 por 18 40, logo
v = 40\cdot 5 = 200\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora lembramos as fórmulas de energia envolvidas (vou explicar cada uma):
  • Energia cinética (energia de movimento) de um corpo de massa m com velocidade v:
K=\tfrac{1}{2}mv^{2}.
Aqui K é em joules ( \mathrm{J}), m em quilogramas ( \mathrm{kg}) e v em \mathrm{m/s}.
  • Energia potencial gravitacional (tomando o solo como referência zero) para um corpo de massa m a altura h:
U=mgh.
Aqui U está em joules, g em \mathrm{m/s^{2}} e h em metros.
A energia mecânica total é a soma:
E_{\text{total}} = K + U = \tfrac{1}{2}mv^{2} + mgh.

Passo 4

Podemos fatorar m na expressão para isolar a massa:
E_{\text{total}} = m\Big(\tfrac{1}{2}v^{2} + gh\Big).
Portanto
m = \frac{E_{\text{total}}}{\tfrac{1}{2}v^{2} + gh}.
Isto significa que dividimos a energia total pela “energia por unidade de massa” \big(\tfrac{1}{2}v^{2}+gh\big), que tem unidade \mathrm{J/kg}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos já convertidos:
  • Calculamos \tfrac{1}{2}v^{2}:
\tfrac{1}{2}v^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot(200)^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 40000 = 20000\\ \mathrm{J/kg}.
(Aqui escrevo \mathrm{J/kg} porque quando dividimos energia por massa obtém-se energia por unidade de massa.)
  • Calculamos gh:
gh = 10\cdot 3000 = 30000\\ \mathrm{J/kg}.
  • Soma:
\tfrac{1}{2}v^{2} + gh = 20000 + 30000 = 50000\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 6

Agora a massa:
m = \frac{E_{\text{total}}}{\tfrac{1}{2}v^{2} + gh} = \frac{70\times 10^{6}}{50000}.
Fazendo a divisão com potências de dez:
\frac{70\times 10^{6}}{5\times 10^{4}} = \frac{70}{5}\times 10^{2} = 14\times 100 = 1400.
Portanto
m = 1400\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Verificação rápida de unidades: \mathrm{J} dividido por \mathrm{J/kg} \mathrm{kg}, então a unidade está consistente. O resultado 1400\\ \mathrm{kg} coincide com a alternativa (b). Força final: você conseguiu — lembra que a parte chave é converter as unidades e usar E=K+U.

Resposta

b) 1400\\ \mathrm{kg}

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