Um capacitor não linear tem carga q relacionada à tensão por v_{C}=k q^{3} (onde k=2 V / C^{3}, conectado em série a um resistor R=1 \Omega e uma fonte E(t)=10 V. Determine q(t) se q(0)=0.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito em série com uma fonte E(t)=10 V, um resistor R=1, \Omega e um capacitor não linear cuja tensão v_{C} e carga q satisfazem
v_{C}=k\,q^{3},\quad k=2\;\mathrm{V/C^{3}}.
Como a corrente é i=\frac{dq}{dt}, a equação de malha E - R\,i - v_{C}=0 nos dará a EDO para q(t).

Passo 2

Escrevendo a equação de malha:
10 - 1\cdot\frac{dq}{dt} - 2\,q^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dq}{dt}=10 - 2\,q^{3}.

Passo 3

Separamos variáveis:
\frac{dq}{10-2q^{3}}=dt \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{q(t)}\frac{d\xi}{10-2\,\xi^{3}} =\int_{0}^{t}d\tau.
Fatorando 10-2\xi^{3}=2\bigl(5-\xi^{3}\bigr), obtemos
t =\frac{1}{2}\int_{0}^{q(t)}\frac{d\xi}{5-\xi^{3}}.

Passo 4

Para integrar \displaystyle\int\frac{d\xi}{5-\xi^{3}} definimos a=\sqrt[3]{5}, de modo que
5-\xi^{3}=(a-\xi)\bigl(a^{2}+a\xi+\xi^{2}\bigr)
e fazemos frações parciais. O resultado da primitiva é, até constante de integração,
F(\xi) =-\frac{1}{3a^{2}}\ln\bigl(a-\xi\bigr) +\frac{1}{6a^{2}}\ln\bigl(\xi^{2}+a\,\xi+a^{2}\bigr) +\frac{1}{a^{2}\sqrt{3}}\, \arctan\!\Bigl(\frac{2\,\xi+a}{a\sqrt{3}}\Bigr).

Passo 5

Aplicando o limite inferior \xi=0 e igualando a primitiva a 2t, resulta a condição implícita
-\frac{1}{3a^{2}}\ln\bigl(a-q(t)\bigr) +\frac{1}{6a^{2}}\ln\bigl(q(t)^{2}+a\,q(t)+a^{2}\bigr) +\frac{1}{a^{2}\sqrt{3}} \arctan\!\Bigl(\frac{2\,q(t)+a}{a\sqrt{3}}\Bigr) =2t+\frac{\pi}{6a^{2}\sqrt{3}},
onde a=\sqrt[3]{5}.

Resposta

A carga q(t) é dada implicitamente por
-\tfrac{1}{3a^{2}}\ln\bigl(a-q(t)\bigr) +\tfrac{1}{6a^{2}}\ln\bigl(q(t)^{2}+a\,q(t)+a^{2}\bigr) +\tfrac{1}{a^{2}\sqrt{3}} \arctan\!\Bigl(\tfrac{2\,q(t)+a}{a\sqrt{3}}\Bigr) =2t+\tfrac{\pi}{6a^{2}\sqrt{3}},
com a=\sqrt[3]{5} e condição inicial q(0)=0.

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