Um resistor não linear obedece à lei v_{R}=k i^{2} (onde k=0.5 V / A^{2} ) conectado em série a um indutor L=1 H e uma fonte constante E=6 V. Determine i(t) se i(0)=0.

Passo 1

O circuito é uma fonte constante E em série com um indutor de indutância L e um resistor não linear cuja característica é
v_{R}=k\,i^{2},
com k=0{,}5\\ \mathrm{V/A^{2}}, L=1\\ \mathrm{H} e E=6\\ \mathrm{V}. Queremos achar a corrente i(t) satisfazendo a condição inicial i(0)=0. Para isso usaremos a lei de Kirchhoff de tensões e resolveremos a EDO por separação de variáveis.

Passo 2

Aplicando KVL ao laço, somamos as tensões da fonte, do resistor e do indutor:
E - v_{R} - v_{L} = 0
e como v_{R}=k\,i^{2} e v_{L}=L\,\frac{di}{dt}, obtemos
6 - 0{,}5\,i^{2} - 1\cdot\frac{di}{dt}=0 \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{di}{dt}=6 - 0{,}5\,i^{2}.

Passo 3

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{di}{6 - 0{,}5\,i^{2}}=dt.
Note que 6-0{,}5\,i^{2}=0{,}5\,(12 - i^{2}), logo
\frac{1}{6 - 0{,}5\,i^{2}} =\frac{2}{12 - i^{2}},
e a equação fica
\int_{0}^{i(t)}\frac{2\,di}{12 - i^{2}} =\int_{0}^{t}dt.

Passo 4

Para integrar usamos a fórmula
\int\frac{du}{a^{2}-u^{2}} =\frac{1}{2a}\ln\!\biggl(\frac{a+u}{a-u}\biggr).
Aqui a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}, então
\int_{0}^{i}\frac{2\,di}{12 - i^{2}} =\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\!\Bigl(\frac{2\sqrt{3}+i}{2\sqrt{3}-i}\Bigr) \Big|_{0}^{i} =\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\!\Bigl(\frac{2\sqrt{3}+i}{2\sqrt{3}-i}\Bigr).
Igualando ao lado direito, obtemos
\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\!\Bigl(\frac{2\sqrt{3}+i}{2\sqrt{3}-i}\Bigr)=t \;\Longrightarrow\; \ln\!\Bigl(\frac{2\sqrt{3}+i}{2\sqrt{3}-i}\Bigr)=2\sqrt{3}\,t.

Passo 5

Exponenciando e isolando i:
\frac{2\sqrt{3}+i}{2\sqrt{3}-i} =e^{2\sqrt{3}t} \;\Longrightarrow\; (2\sqrt{3}+i)=e^{2\sqrt{3}t}(2\sqrt{3}-i)
i\bigl(1+e^{2\sqrt{3}t}\bigr) =2\sqrt{3}\bigl(e^{2\sqrt{3}t}-1\bigr) \;\Longrightarrow\; i(t) =2\sqrt{3}\,\frac{e^{2\sqrt{3}t}-1}{e^{2\sqrt{3}t}+1} =2\sqrt{3}\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr).

Resposta

i(t)=2\sqrt{3}\,\operatorname{tanh}\!\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr)\quad(\mathrm{A}).

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