Um capacitor de placas condutoras paralelas possui uma carga q em uma de suas placas e -q na outra. O espaço entre as placas foi totalmente preenchido por um dielétrico de constante dielétrica \kappa e possui polarização elétrica \vec{P}. Nas superfícies do dielétrico, vizinhas das superfícies das placas condutoras, são induzidas cargas de polarização q^{\prime}, de sinal oposto à carga da placa em cada lado. A lei de Gauss para o campo elétrico \vec{E} nesse capacitor é
a) \oint\left(\varepsilon_{0} \vec{E}+\vec{P}\right) \cdot d \vec{S}=q
b) \left(\varepsilon_{0} / \kappa\right) \oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=q
c) \varepsilon_{0} \kappa \oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=q-q^{\prime}
d) \oint\left(\varepsilon_{0} \vec{E}-\vec{P}\right) \cdot d \vec{S}=q
e) \left(\varepsilon_{0} / \kappa\right) \oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=q-q^{\prime}

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas com carga livre +q em uma placa e -q na outra, totalmente preenchido por um dielétrico de constante dielétrica \kappa e com polarização elétrica \vec{P}. Nas superfícies do dielétrico aparecem cargas ligadas q'. Quer-se a forma da lei de Gauss para o campo elétrico \vec{E} nesse sistema.

Passo 2

Definimos o vetor deslocamento elétrico \vec{D} pela relação
\vec{D} = \varepsilon_{0}\,\vec{E} + \vec{P}\,.

Passo 3

Pela lei de Gauss para \vec{D}, temos que o fluxo de \vec{D} através de qualquer superfície fechada vale a carga livre total Q_{\text{livre}} nela contida:
\oint \vec{D}\cdot d\vec{S} = Q_{\text{livre}}.

Passo 4

Como a carga livre é q, substituímos \vec{D}=\varepsilon_{0}\vec{E}+\vec{P} e obtemos
\oint\bigl(\varepsilon_{0}\,\vec{E}+\vec{P}\bigr)\cdot d\vec{S} = q.

Resposta

a) \displaystyle \oint\bigl(\varepsilon_{0}\,\vec{E}+\vec{P}\bigr)\cdot d\vec{S}=q

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