Um capacitor de placas paralelas com área A e espaçamento d é preenchido com vidro ( \epsilon=2 \epsilon_{0} ). Conectado a uma bateria, o capacitor acumula carga Q. (a) Qual a energia armazenada no capacitor? (b) Mantendo a bateria conectada, a separação entre as placas é aumentada para 2 d (veja a figura). Qual a energia armazenada nessa nova situação?

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas de área A e separação inicial d, preenchido com um dielétrico de constante \epsilon = 2\epsilon_0. O capacitor está ligado a uma bateria, de modo que a diferença de potencial V entre as placas permanece constante. Ao atingir o equilíbrio, ele acumula carga Q. Queremos a energia armazenada inicialmente e depois após dobrar a separação para 2d, mantendo a bateria conectada.

Passo 2

Calculamos a capacitância inicial C_1. Para placas paralelas com dielétrico,
C_1 = \frac{\epsilon A}{d} = \frac{2\epsilon_0\,A}{d}.

Passo 3

A energia armazenada num capacitor em que a carga é Q e a capacitância é C pode ser escrita como
U = \frac{Q^2}{2C}.
Aplicando ao caso inicial,
U_1 = \frac{Q^2}{2\,C_1} = \frac{Q^2}{2\,(2\epsilon_0 A/d)} = \frac{Q^2\,d}{4\,\epsilon_0\,A}.

Passo 4

Depois que a distância entre as placas dobra d \to 2d, a nova capacitância C_2 fica
C_2 = \frac{\epsilon A}{2d} = \frac{2\epsilon_0\,A}{2d} = \frac{\epsilon_0\,A}{d} = \frac{C_1}{2}.

Passo 5

Mantendo a bateria conectada, V permanece o mesmo, mas a nova carga é Q_2 = C_2\,V. Como Q = C_1\,V, temos
V = \frac{Q}{C_1}, \quad Q_2 = C_2\,\frac{Q}{C_1} = \frac{C_1}{2}\,\frac{Q}{C_1} = \frac{Q}{2}.
A energia final pode ser calculada por
U_2 = \frac{Q_2^2}{2\,C_2} = \frac{\bigl(Q/2\bigr)^2}{2\,(C_1/2)} = \frac{Q^2/4}{C_1} = \frac{Q^2}{4\,C_1}.
Ou, alternativamente, usando U = \tfrac12C V^2:
U_2 = \frac12\,C_2\,V^2 = \frac12\Bigl(\frac{C_1}{2}\Bigr)\Bigl(\frac{Q}{C_1}\Bigr)^2 = \frac{Q^2}{4\,C_1}.

Passo 6

Substituindo C_1 = 2\epsilon_0 A/d em U_2, obtemos
U_2 = \frac{Q^2}{4\,(2\epsilon_0 A/d)} = \frac{Q^2\,d}{8\,\epsilon_0\,A} = \frac{1}{2}\,U_1.

Resposta

(a) \displaystyle U_1 = \frac{Q^2\,d}{4\,\epsilon_0\,A}.
(b) \displaystyle U_2 = \frac{Q^2\,d}{8\,\epsilon_0\,A} = \frac{1}{2}\,U_1.

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