Q9. Um elétron partindo do repouso, tem uma aceleração que cresce linearmente com o tempo dada por a=k t, sendo k=1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}, num movimento retilíneo. Calcule: (a) a velocidade do elétron 5 s após iniciar seu movimento; (b) a distância percorrida durante este intervalo de tempo. R: 19 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 31 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado diz que um elétron parte do repouso em movimento retilíneo e tem aceleração que cresce linearmente com o tempo segundo
a(t)=k\,t,
com k=1,5\,\mathrm{m/s^3}. Como a=\frac{dv}{dt} e v(0)=0, vamos integrar para achar v(t). Em seguida, como v=\frac{ds}{dt} e s(0)=0, integramos v(t) para obter a distância s(t).

Passo 2

Integramos a aceleração para obter a velocidade:
v(t)=\int_{0}^{t}a(t')\,dt'=\int_{0}^{t}k\,t'\,dt'=\frac{k\,t^{2}}{2}.
Substituindo t=5\,\mathrm{s}:
v(5)=\frac{1,5\cdot(5)^{2}}{2}=\frac{1,5\cdot25}{2}=18,75\,\mathrm{m/s}\approx19\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora integramos v(t) para achar a distância percorrida:
s(t)=\int_{0}^{t}v(t')\,dt'=\int_{0}^{t}\frac{k\,t'^{2}}{2}\,dt' =\frac{k\,t^{3}}{6}.
Para t=5\,\mathrm{s}:
s(5)=\frac{1,5\cdot(5)^{3}}{6}=\frac{1,5\cdot125}{6}=31,25\,\mathrm{m}\approx31\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) 19\,\mathrm{m/s}
(b) 31\,\mathrm{m}

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