Um capacitor de placas paralelas com área A e espaçamento d é preenchido com vidro ( \epsilon=2 \epsilon_{0} ). Conectado a uma bateria, o capacitor acumula carga Q. (a) Qual a energia armazenada no capacitor? (b) Mantendo a bateria conectada, a separação entre as placas é aumentada para 2 d (veja a figura). Qual a energia armazenada nessa nova situação?

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas de área A, separação d e preenchido com dielétrico de permissividade \epsilon=2\epsilon_{0}, conectado a uma bateria de modo que acumula carga Q. O conteúdo aqui é a teoria de capacitores com dielétricos e a expressão da energia armazenada: U=\tfrac12CV^2 ou U=Q^2/(2C). Precisamos (a) da energia inicial e (b) da energia após dobrar a distância para 2d, mantendo a bateria ligada (tensão constante).

Passo 2

A capacitância inicial é
C_{1}=\frac{\epsilon A}{d}=\frac{2\,\epsilon_{0}A}{d}.

Passo 3

Como o capacitor está ligado à bateria, a tensão inicial V satisfaz Q=C_{1}V, logo
V=\frac{Q}{C_{1}}.

Passo 4

A energia armazenada inicialmente pode ser escrita como
U_{1}=\frac{Q^2}{2\,C_{1}} =\frac{Q^2}{2}\,\frac{d}{2\epsilon_{0}A} =\frac{Q^2\,d}{4\epsilon_{0}A}.

Passo 5

Ao dobrar a separação para 2d, a nova capacitância passa a valer
C_{2}=\frac{\epsilon A}{2d}=\frac{C_{1}}{2}.

Passo 6

Mantendo a mesma tensão V da bateria, a nova carga é
Q_{2}=C_{2}V=\frac{C_{1}}{2}V=\frac{Q}{2}
e a energia vira
U_{2}=\frac12\,C_{2}V^2 =\frac12\,\frac{C_{1}}{2}V^2 =\frac{U_{1}}{2} =\frac{Q^2\,d}{8\epsilon_{0}A}.

Resposta

U_{1}=\dfrac{Q^2\,d}{4\epsilon_{0}A},\quad U_{2}=\dfrac{Q^2\,d}{8\epsilon_{0}A}.

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