Qual é o excesso de elétrons que deve ser adicionado a um condutor esférico isolado, com diâmetro de 26,0 \mathrm{~cm}, para produzir um campo elétrico de 1150 N / C em um ponto muito próximo da superfície externa da esfera?

Passo 1

Temos uma esfera condutora isolada de diâmetro 26{,}0\;\mathrm{cm}, ou seja, raio
R = \frac{26{,}0\;\mathrm{cm}}{2} = 13{,}0\;\mathrm{cm} = 0{,}13\;\mathrm{m}.
O enunciado pede o excesso de elétrons (quantidade de carga extra em unidades de carga de elétron) que produz um campo elétrico de módulo 1150\;\mathrm{N/C} num ponto logo fora da superfície. O conteúdo é eletrostática de condutores e lei de Gauss.

Passo 2

Para uma esfera condutora isolada, o campo elétrico imediatamente fora da superfície, de raio R, obedece
E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{|Q|}{R^{2}},
onde \varepsilon_{0} = 8{,}854\times10^{-12}\;\mathrm{F/m} e Q é a carga total na esfera.

Passo 3

Da equação acima isolamos o valor absoluto da carga:
|Q| = 4\pi\varepsilon_{0}\,R^{2}\,E.
Substituindo R = 0{,}13\;\mathrm{m}, E = 1150\;\mathrm{N/C} e 4\pi\varepsilon_{0} = 1{,}11265\times10^{-10}\;\mathrm{F/m},
|Q| = 1{,}11265\times10^{-10} \times (0{,}13)^{2} \times 1150 \approx 2{,}16\times10^{-9}\;\mathrm{C}.

Passo 4

A quantidade de elétrons necessária para compor essa carga tem módulo
n = \frac{|Q|}{e},
onde e = 1{,}602\times10^{-19}\;\mathrm{C} é a carga elementar (em módulo). Logo,
n = \frac{2{,}16\times10^{-9}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx 1{,}35\times10^{10}.

Passo 5

Como se trata de excesso de elétrons (cada elétron traz carga -e), a carga total Q é negativa. Portanto devemos adicionar
1{,}35\times10^{10}
elétrons à esfera para obter o módulo de campo pedido.

Resposta

1{,}35\times10^{10} elétrons.

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