Um capacitor de placas paralelas com placas quadradas, cada uma de lado de 14 cm , separadas por 2,0 \mathrm{~mm}, é conectada a uma bateria e carregado com 12 V . a) Qual é a carga no capacitor? b) Quanta energia é armazenada no capacitor? c) A bateria é, então, desconectada do capacitor e as placas são afastadas até que a separação entre elas aumente para 3,5 \mathrm{~mm}. Quanto varia a energia armazenada quando a separação entre as placas aumenta de 2,0 \mathrm{~mm} para 3,5 \mathrm{~mm} ?

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas com placas quadradas e pede três coisas. Dados fornecidos (vou escrever tudo em unidades do SI):
\text{lado da placa } = 14\\ \mathrm{cm} = 0{,}14\\ \mathrm{m}
\text{separação inicial } d_1 = 2{,}0\\ \mathrm{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m}çã
\text{separação final } d_2 = 3{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0035\\ \mathrm{m}çã
\text{tensão da bateria } V = 12\\ \mathrm{V}ã
Perguntas:
a) Qual é a carga no capacitor quando está ligado à bateria (separação d_1)?
b) Quanta energia é armazenada no capacitor com a bateria conectada (separação d_1)?
c) Com a bateria desconectada e as placas afastadas para d_2, quanto varia a energia armazenada (isto é, \Delta U = U_{2}-U_{1})?

Passo 2

Fórmula para a capacitância de um capacitor de placas paralelas (aproximação sem efeitos de borda):
C=\varepsilon_0\frac{A}{d}
Explicando cada símbolo:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • A é a área de cada placa, em \mathrm{m}^2.
  • d é a separação entre as placas, em \mathrm{m}.
    Para placas quadradas de lado l,
A=l^2.
Vamos calcular A:
A=(0{,}14\\ \mathrm{m})^2=0{,}0196\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Calcular a capacitância inicial C_1 usando d_1:
C_1=\varepsilon_0\frac{A}{d_1}=\left(8{,}85\times10^{-12}\right)\frac{0{,}0196}{0{,}002}\\ \mathrm{F}.
Faço a multiplicação do numerador primeiro:
\varepsilon_0 A = 8{,}85\times10^{-12}\times0{,}0196 = 1{,}7346\times10^{-13}\\ \mathrm{F\cdot m}.
Agora divido por d_1:
C_1=\frac{1{,}7346\times10^{-13}}{0{,}002}=8{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
Em unidades mais familiares, C_1\approx86{,}7\\ \mathrm{pF} (pois 1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}).

Passo 4

Carga no capacitor com a bateria conectada: relação básica
Q=C V,
onde Q é a carga (em coulombs), C a capacitância (em farads) e V a tensão (em volts). Usando C_1 e V:
Q=C_1 V = \left(8{,}67\times10^{-11}\right)\times 12 = 1{,}04\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Interpretação: a carga armazenada é Q\approx1{,}04\\ \mathrm{nC}. (Nota: quando a bateria está conectada a tensão permanece 12\\ \mathrm{V} independentemente de d, enquanto a capacitância determina Q.)

Passo 5

Energia armazenada com a bateria conectada (caso de tensão constante) é dada por
U=\tfrac{1}{2} C V^2.
Explicando a fórmula: quando carregamos um capacitor mantendo a tensão V fixa, a energia depositada nas placas vem do trabalho da bateria e corresponde à metade da capacitância vezes o quadrado da tensão. Agora calculo U_1 com C_1 e V:
U_1=\tfrac{1}{2} C_1 V^2 = \tfrac{1}{2}\times\left(8{,}67\times10^{-11}\right)\times(12)^2.
Calculo passo a passo:
(12)^2 = 144,
C_1 V^2 = 8{,}67\times10^{-11}\times144 = 1{,}249\\ \times10^{-8},
U_1=\tfrac{1}{2}\times1{,}249\times10^{-8}=6{,}24\times10^{-9}\\ \mathrm{J}.
Portanto U_1\approx6{,}24\times10^{-9}\\ \mathrm{J} (aprox. 6{,}24\\ \mathrm{nJ}).

Passo 6

Agora a bateria é desconectada — isso é importante: com a bateria desconectada a carga Q permanece constante (não há caminho para a carga sair), mas a capacitância muda quando d muda. Vamos calcular a nova capacitância C_2 com d_2:
C_2=\varepsilon_0\frac{A}{d_2}=\frac{1{,}7346\times10^{-13}}{0{,}0035}=4{,}96\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
Ou seja C_2\approx4{,}96\times10^{-11}\\ \mathrm{F} (aprox. 49{,}6\\ \mathrm{pF}). Observe que C_2<C_1 porque a separação aumentou.

Passo 7

Com carga constante, a energia armazenada é dada por
U=\frac{Q^2}{2C}.
Explicando: essa forma vem de U=\tfrac{1}{2}CV^2 e da relação Q=CV. Substituindo V=Q/C em \tfrac{1}{2}CV^2 obtém-se \tfrac{Q^2}{2C}. Como Q é constante, se C diminui a energia aumenta. Calculo U_2:
Q=1{,}04\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad 2C_2=2\times4{,}96\times10^{-11}=9{,}92\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
U_2=\frac{Q^2}{2C_2}=\frac{(1{,}04\times10^{-9})^2}{9{,}92\times10^{-11}}.
Faço os cálculos:
Q^2=(1{,}04\times10^{-9})^2=1{,}084\times10^{-18},
U_2=\frac{1{,}084\times10^{-18}}{9{,}92\times10^{-11}}=1{,}09\times10^{-8}\\ \mathrm{J}.
Portanto U_2\approx1{,}09\times10^{-8}\\ \mathrm{J} (aprox. 10{,}9\\ \mathrm{nJ}).

Passo 8

Variação da energia ao aumentar a separação:
\Delta U = U_2-U_1 = 1{,}09\times10^{-8}-6{,}24\times10^{-9}=4{,}69\times10^{-9}\\ \mathrm{J}.
Interpretação física curta: a energia aumenta porque, puxando as placas para mais longe contra a atração elétrica, foi realizado trabalho externo que ficou armazenado como energia eletrostática extra. (Se a bateria estivesse conectada enquanto afastamos as placas, a tensão permaneceria fixa e a energia diminuiria — aqui, porém, bateria foi desconectada.)

Passo 9

Comentário adicional útil para a prova (opcional, mas bom saber): a nova tensão entre as placas com carga fixa é
V_2=\frac{Q}{C_2}=\frac{1{,}04\times10^{-9}}{4{,}96\times10^{-11}}\approx2{,}10\times10^{1}\\ \mathrm{V}=21{,}0\\ \mathrm{V},
ou seja, a tensão sobe de 12\\ \mathrm{V} para cerca de 21{,}0\\ \mathrm{V} quando as placas são afastadas com carga fixa.

Resposta

a) Q=1{,}04\times10^{-9}\\ \mathrm{C}
b) U_1=6{,}24\times10^{-9}\\ \mathrm{J}
c) \Delta U=4{,}69\times10^{-9}\\ \mathrm{J}

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