Uma partícula
de massa
move-se com velocidade de
ao longo do eixo
e colide elasticamente com uma partícula
de massa
, inicialmente em repouso. Após a colisão,
desvia seu movimento formando um ângulo de
com o eixo
, enquanto
é lançada formando um ângulo desconhecido
no mesmo plano.
Determine a velocidade de cada partícula após a colisão e o ângulo
de trajetória da partícula
, considerando a conservação do momento linear em duas direções e da energia cinética. Apresente todas as equações vetoriais utilizadas e discuta o resultado físico.
Determine a velocidade de cada partícula após a colisão e o ângulo
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos (tudo que temos e o que se pede):
Após a colisão (elástica) a partícula
tem velocidade de módulo desconhecido
e dirige-se formando
, com o eixo
(vou tomar esse ângulo acima do eixo
). A partícula
adquire velocidade de módulo desconhecido
e forma um ângulo desconhecido
com o eixo
; pede-se:
- os módulos
e ; - o ângulo
(valor e sentido, no mesmo plano).
O enunciado pede que se considerem a conservação do momento linear nas duas direções e a conservação da energia cinética (colisão elástica). Todos os valores numéricos finais devem ser explicitados.
Passo 2
Escolha do sistema de referência e definição das incógnitas (variáveis):
- adoto eixo
na direção inicial de (positivo para a direita) e eixo para cima; - incógnitas:
(módulo da velocidade de após), (módulo da velocidade de após), (ângulo de com o eixo ).
Para fixar sinais de componentes: comofica a acima do eixo , suas componentes serão positivas em e . A componente total inicial é zero, portanto a partícula terá componente de sinal oposto (isto é, para cancelar a componente de ); por conveniência escrevo como o ângulo que forma com o eixo medido abaixo do eixo (ou seja indica abaixo do eixo ), assim a componente de será negativa e podemos colocar explicitamente o sinal nas equações.
Passo 3
Equação vetorial do momento linear (conservação do momento):
Inicialmente só
se move, então
Após a colisão
Aqui
e (tomando
abaixo de
)
A equação vetorial é, portanto,
Passo 4
Decompondo a equação vetorial nas componentes
e
obtemos duas equações escalares (essas são as equações de conservação do momento nas duas direções):
componente :
componente
componente
:
Nessas equações, cada termo é a componente
ou
do momento de cada partícula. Vou usar os valores numéricos de
e
em seguida.
Passo 5
Equação da conservação da energia cinética (colisão elástica):
Aqui cada termo é a energia cinética de cada partícula antes e depois da colisão.
Passo 6
Substituição dos números e das razões trigonométricas conhecidas:
Escrevendo as três equações com esses valores:
componente
:
componente
:
energia:
Agora temos três equações
para as três incógnitas
.
Passo 7
Eliminação de
usando a relação da componente
. Da equação
temos
Como
, então
escolhendo o sinal positivo porque fisicamente
continua para a direita (componente
positiva). Substituo
na equação da componente
:
Uma forma mais conveniente é isolar
e relacioná-lo com
e
. Observe que
Então da equação
temos, ao elevar ao quadrado,
Agora substituo
usando a equação da energia: da equação
obtemos
Substituindo em
dá
Passo 8
Resolver a equação para
. Expando e reorganizo:
Igualando a
obtemos
Transpondo todos os termos para um lado:
Dividindo por
:
É uma quadrática em
:
Calculo do discriminante
:
Discriminante zero implica raiz dupla, logo
Numérico:
Passo 9
Determinar
usando a equação da energia:
Como
,
Portanto
Passo 10
Determinar o ângulo
de
usando
(equação da componente
):
Logo
implica
. Lembre-se do sinal: como a componente
total inicial era zero e
ficou com componente
positiva (acima do eixo), a componente
de
deve ser negativa — por isso escolhemos
abaixo do eixo
. Assim o vetor velocidade de
faz ângulo de
abaixo do eixo
.
Passo 11
Verificação rápida das direções e interpretação física (discussão):
- Valores finais:
- A solução simétrica (ângulos
) e os módulos calculados satisfazem as três equações (momentum em , momentum em , energia). O discriminante zero indica que, dadas as condições (massa de o dobro da massa de e inicialmente em repouso), existe uma única configuração compatível com conservação do momento e da energia no plano para a indicação dada de para . - Fisicamente: parte da energia e momento de
é transferida para ; como é mais leve, acaba com velocidade maior que após a colisão (a massa menor adquire maior velocidade), e os ângulos se organizam para que as componentes se cancelem e a componente conserve o momento total. - Checagem numérica rápida: componente
do momento final é . Substituindo e dá exatamente , como era esperado.