Uma partícula A de massa m_{A}=2 \mathrm{~kg} move-se com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao longo do eixo x e colide elasticamente com uma partícula B de massa m_{B}=1 \mathrm{~kg}, inicialmente em repouso. Após a colisão, A desvia seu movimento formando um ângulo de 30^{\circ} com o eixo x, enquanto B é lançada formando um ângulo desconhecido \theta no mesmo plano.
Determine a velocidade de cada partícula após a colisão e o ângulo \theta de trajetória da partícula B, considerando a conservação do momento linear em duas direções e da energia cinética. Apresente todas as equações vetoriais utilizadas e discuta o resultado físico.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (tudo que temos e o que se pede):
m_A=2\\ \mathrm{kg},\qquad v_{A,\text{in}}=10\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(direção do eixo }x\text{, sentido positivo)}çã
m_B=1\\ \mathrm{kg},\qquad v_{B,\text{in}}=0\\ \mathrm{m/s}
Após a colisão (elástica) a partícula A tem velocidade de módulo desconhecido v_A' e dirige-se formando \,30^\circ, com o eixo x (vou tomar esse ângulo acima do eixo x). A partícula B adquire velocidade de módulo desconhecido v_B' e forma um ângulo desconhecido \theta com o eixo x; pede-se:
  • os módulos v_A' e v_B';
  • o ângulo \theta (valor e sentido, no mesmo plano).
    O enunciado pede que se considerem a conservação do momento linear nas duas direções e a conservação da energia cinética (colisão elástica). Todos os valores numéricos finais devem ser explicitados.

Passo 2

Escolha do sistema de referência e definição das incógnitas (variáveis):
  • adoto eixo x na direção inicial de A (positivo para a direita) e eixo y para cima;
  • incógnitas: \;v_A' (módulo da velocidade de A após), \;v_B' (módulo da velocidade de B após), \;\theta (ângulo de B com o eixo x).
    Para fixar sinais de componentes: como A fica a 30^\circ acima do eixo x, suas componentes serão positivas em x e y. A componente y total inicial é zero, portanto a partícula B terá componente y de sinal oposto (isto é, para cancelar a componente y de A); por conveniência escrevo \theta como o ângulo que B forma com o eixo x medido abaixo do eixo (ou seja \theta>0 indica abaixo do eixo x), assim a componente y de B será negativa e podemos colocar explicitamente o sinal nas equações.

Passo 3

Equação vetorial do momento linear (conservação do momento):
\vec p_{\text{in}}=\vec p_{\text{fin}}.
Inicialmente só A se move, então
\vec p_{\text{in}}=m_A v_{A,\text{in}}\,\hat{\imath}.
Após a colisão
\vec p_{\text{fin}} = m_A \vec v_A' + m_B \vec v_B'.
Aqui \vec v_A' = v_A'(\cos 30^\circ\,\hat{\imath}+\sin 30^\circ\,\hat{\jmath}) e (tomando \theta abaixo de x)
\vec v_B' = v_B'(\cos\theta\,\hat{\imath}-\sin\theta\,\hat{\jmath}).
A equação vetorial é, portanto,
m_A v_{A,\text{in}}\,\hat{\imath} = m_A v_A'(\cos 30^\circ\,\hat{\imath}+\sin 30^\circ\,\hat{\jmath}) + m_B v_B'(\cos\theta\,\hat{\imath}-\sin\theta\,\hat{\jmath}).

Passo 4

Decompondo a equação vetorial nas componentes x e y obtemos duas equações escalares (essas são as equações de conservação do momento nas duas direções):
componente x:
m_A v_{A,\text{in}} = m_A v_A' \cos 30^\circ + m_B v_B' \cos\theta.
componente y:
0 = m_A v_A' \sin 30^\circ - m_B v_B' \sin\theta.
Nessas equações, cada termo é a componente x ou y do momento de cada partícula. Vou usar os valores numéricos de m_A,m_B e v_{A,\text{in}} em seguida.

Passo 5

Equação da conservação da energia cinética (colisão elástica):
\frac{1}{2}m_A v_{A,\text{in}}^{2} = \frac{1}{2}m_A v_A'^{2} + \frac{1}{2}m_B v_B'^{2}.
Aqui cada termo é a energia cinética de cada partícula antes e depois da colisão.

Passo 6

Substituição dos números e das razões trigonométricas conhecidas:
m_A=2,\quad m_B=1,\quad v_{A,\text{in}}=10,\quad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}.
Escrevendo as três equações com esses valores:
componente x:
2\cdot 10 = 2 v_A' \cos 30^\circ + 1\cdot v_B' \cos\theta
20 = 2 v_A' \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + v_B' \cos\theta
\boxed{20 = \sqrt{3}\,v_A' + v_B'\cos\theta}
componente y:
0 = 2 v_A' \sin 30^\circ - v_B' \sin\theta
0 = 2 v_A' \cdot \frac{1}{2} - v_B' \sin\theta
\boxed{v_B'\sin\theta = v_A'}
energia:
\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 10^{2} = \frac{1}{2}\cdot 2\,v_A'^{2} + \frac{1}{2}\cdot 1\,v_B'^{2}
100 = v_A'^{2} + \tfrac{1}{2}v_B'^{2}
\boxed{100 = v_A'^{2} + \tfrac{1}{2}v_B'^{2}}
Agora temos três equações \,(1)\,(2)\,(3) para as três incógnitas v_A',v_B',\theta.

Passo 7

Eliminação de \theta usando a relação da componente y. Da equação \boxed{v_B'\sin\theta = v_A'} temos
\sin\theta = \frac{v_A'}{v_B'}.
Como \cos^{2}\theta = 1-\sin^{2}\theta, então
\cos\theta = \sqrt{1-\left(\frac{v_A'}{v_B'}\right)^{2}},
escolhendo o sinal positivo porque fisicamente B continua para a direita (componente x positiva). Substituo \cos\theta na equação da componente x:
20 = \sqrt{3}\,v_A' + v_B'\sqrt{1-\left(\frac{v_A'}{v_B'}\right)^{2}}.
Uma forma mais conveniente é isolar v_B'\cos\theta e relacioná-lo com v_B'^2 e v_A'^2. Observe que
(v_B'\cos\theta)^2 = v_B'^2\cos^{2}\theta = v_B'^2 - v_A'^{2}.
Então da equação 20 - \sqrt{3}\,v_A' = v_B'\cos\theta temos, ao elevar ao quadrado,
(20 - \sqrt{3}\,v_A')^{2} = v_B'^2 - v_A'^2.
Agora substituo v_B'^2 usando a equação da energia: da equação \boxed{100 = v_A'^{2} + \tfrac{1}{2}v_B'^{2}} obtemos
v_B'^{2} = 200 - 2v_A'^{2}.
Substituindo em (20 - \sqrt{3}\,v_A')^{2} = v_B'^2 - v_A'^2
(20 - \sqrt{3}\,v_A')^{2} = (200 - 2v_A'^{2}) - v_A'^{2} = 200 - 3v_A'^{2}.

Passo 8

Resolver a equação para v_A'. Expando e reorganizo:
(20 - \sqrt{3}\,v_A')^{2} = 400 - 40\sqrt{3}\,v_A' + 3v_A'^{2}.
Igualando a 200 - 3v_A'^{2} obtemos
400 - 40\sqrt{3}\,v_A' + 3v_A'^{2} = 200 - 3v_A'^{2}.
Transpondo todos os termos para um lado:
400 - 40\sqrt{3}\,v_A' + 3v_A'^{2} -200 + 3v_A'^{2} = 0
200 - 40\sqrt{3}\,v_A' + 6v_A'^{2} = 0.
Dividindo por 2:
100 - 20\sqrt{3}\,v_A' + 3v_A'^{2} = 0.
É uma quadrática em v_A':
3v_A'^{2} - 20\sqrt{3}\,v_A' + 100 = 0.
Calculo do discriminante \Delta:
\Delta = (20\sqrt{3})^{2} - 4\cdot 3\cdot 100 = 400\cdot 3 - 1200 = 1200 - 1200 = 0.
Discriminante zero implica raiz dupla, logo
v_A' = \frac{20\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{20\sqrt{3}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{3}.
Numérico:
v_A' = \frac{10\sqrt{3}}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 5{,}7735\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Determinar v_B' usando a equação da energia:
v_B'^{2} = 200 - 2v_A'^{2}.
Como v_A'^{2} = \left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^{2} = \frac{100\cdot 3}{9} = \frac{300}{9} = \frac{100}{3},
v_B'^{2} = 200 - 2\cdot\frac{100}{3} = 200 - \frac{200}{3} = \frac{600-200}{3} = \frac{400}{3}.
Portanto
v_B' = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m/s}\approx 11{,}547\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

Determinar o ângulo \theta de B usando \sin\theta = \dfrac{v_A'}{v_B'} (equação da componente y):
\sin\theta = \frac{v_A'}{v_B'} = \frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{\frac{20}{\sqrt{3}}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{20} = \frac{10\cdot 3}{60} = \frac{1}{2}.
Logo \sin\theta=\tfrac{1}{2} implica \theta=30^\circ. Lembre-se do sinal: como a componente y total inicial era zero e A ficou com componente y positiva (acima do eixo), a componente y de B deve ser negativa — por isso escolhemos \theta abaixo do eixo x. Assim o vetor velocidade de B faz ângulo de 30^\circ abaixo do eixo x.

Passo 11

Verificação rápida das direções e interpretação física (discussão):
  • Valores finais:
v_A'=\frac{10\sqrt{3}}{3}\\ \mathrm{m/s}\quad(\approx 5{,}77\\ \mathrm{m/s})\quad\text{em }30^\circ\text{ acima do eixo }x,
v_B'=\frac{20}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m/s}\quad(\approx 11{,}55\\ \mathrm{m/s})\quad\text{em }30^\circ\text{ abaixo do eixo }x.
  • A solução simétrica (ângulos \pm 30^\circ) e os módulos calculados satisfazem as três equações (momentum em x, momentum em y, energia). O discriminante zero indica que, dadas as condições (massa de A o dobro da massa de B e B inicialmente em repouso), existe uma única configuração compatível com conservação do momento e da energia no plano para a indicação dada de 30^\circ para A.
  • Fisicamente: parte da energia e momento de A é transferida para B; como B é mais leve, acaba com velocidade maior que A após a colisão (a massa menor adquire maior velocidade), e os ângulos se organizam para que as componentes y se cancelem e a componente x conserve o momento total.
  • Checagem numérica rápida: componente x do momento final é 2\cdot v_A'\cos30 + 1\cdot v_B'\cos30 = (2v_A'+v_B')\cos30. Substituindo v_A'=\tfrac{10\sqrt{3}}{3} e v_B'=\tfrac{20}{\sqrt{3}} dá exatamente 20, como era esperado.

Resposta

\displaystyle v_A'=\frac{10\sqrt{3}}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 5{,}7735\\ \mathrm{m/s} para A em 30^\circ acima do eixo x.
\displaystyle v_B'=\frac{20}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m/s}\approx 11{,}547\\ \mathrm{m/s} para B em 30^\circ abaixo do eixo x (isto é, \theta=30^\circ abaixo do eixo).

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