Um capacitor com placas paralelas possui capacitância
, quando existe ar entre as placas. A distância entre as placas é igual a
. (a) Qual é o módulo máximo de carga Q que pode ser colocado em cada placa, se o campo elétrico na região entre as placas não exceder
? (b) Qual é a área de cada placa? (c) Um dielétrico com
2,70 é inserido entre as placas do capacitor, preenchendo completamente o volume entre elas. Qual passa a ser o módulo máximo de carga em cada placa, se o campo elétrico entre elas não exceder
? (d) Calcule a
densidade de energia na região entre as placas, em unidades de
com e sem dielétrico.
densidade de energia na região entre as placas, em unidades de
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (todos extraídos do enunciado):
- Capacitância com ar entre as placas:
. - Distância entre as placas:
. - Campo elétrico máximo permitido entre as placas:
. - Constante dielétrica do material inserido (quando aplicável):
.
As perguntas são:
(a) Qual o módulo máximo da cargaem cada placa se o campo não exceder (situação sem dielétrico)?
(b) Qual é a áreade cada placa?
(c) Com o dielétrico () preenchendo totalmente o espaço entre as placas, qual o módulo máximo de carga em cada placa, se o campo não exceder o mesmo ?
(d) Calcule a densidade de energia elétrica na região entre as placas (em) com e sem o dielétrico.
Passo 2
Resumo das fórmulas e conceitos que vou usar (explicando o que cada símbolo significa):
- A relação entre diferença de potencial e campo elétrico entre placas paralelas, assumindo campo uniforme, é
onde
é a tensão entre as placas,
o módulo do campo elétrico e
a separação das placas.
- A carga nas placas e a capacitância estão relacionadas por
onde
é a carga (módulo) numa placa,
a capacitância do capacitor e
a diferença de potencial entre placas.
- Para um capacitor de placas paralelas com vácuo (ou ar aproximando vácuo), a capacitância vale
onde
é a área de cada placa e
é a permissividade do vácuo. Como o enunciado nos deu
com ar, vale
.
- Ao inserir totalmente um dielétrico homogêneo com constante
, a capacitância fica
- A densidade de energia elétrica (energia por unidade de volume) em um meio linear homogêneo, para um campo elétrico
, é
onde
é a permissividade do meio:
sem dielétrico (ar) e
com dielétrico.
Método prático para cada item:
- (a) Calcular
e então . - (b) Usar
. - (c) Com dielétrico
, então . - (d) Calcular
e .
Passo 3
Cálculo do item (a): encontrar a carga máxima sem dielétrico.
Primeiro a tensão máxima entre as placas quando :
Primeiro a tensão máxima entre as placas quando
Substituindo os valores:
Agora
. Usando
:
Portanto, o módulo máximo da carga por placa (sem dielétrico) é
.
Passo 4
Cálculo do item (b): área de cada placa.
Usando , isolamos
:
Usando
Substituindo
,
e
:
(Se preferir em centímetros quadrados:
.)
Passo 5
Cálculo do item (c): carga máxima com o dielétrico
preenchendo totalmente entre as placas.
Com dielétrico a capacitância aumenta para . A tensão máxima continua
(já calculada). Assim
Com dielétrico a capacitância aumenta para
Usando o valor de
do item (a) fica diretamente
Observação física curta: o dielétrico permite armazenar mais carga para a mesma tensão (ou para o mesmo campo) porque aumenta a permissividade.
Passo 6
Cálculo do item (d): densidade de energia com e sem dielétrico.
Fórmula: .
Fórmula:
- Sem dielétrico (
):
Calcule
. Então
- Com dielétrico (
):
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)