Um capacitor com placas paralelas possui capacitância \mathrm{C}_{0}=8,00 \mathrm{pF}, quando existe ar entre as placas. A distância entre as placas é igual a 1,50 \mathrm{~mm}. (a) Qual é o módulo máximo de carga Q que pode ser colocado em cada placa, se o campo elétrico na região entre as placas não exceder 3,0010^{4} \mathrm{~V} / \mathrm{m} ? (b) Qual é a área de cada placa? (c) Um dielétrico com \kappa= 2,70 é inserido entre as placas do capacitor, preenchendo completamente o volume entre elas. Qual passa a ser o módulo máximo de carga em cada placa, se o campo elétrico entre elas não exceder 3,0 \quad 10^{4} \mathrm{~V} / \mathrm{m} ? (d) Calcule a
densidade de energia na região entre as placas, em unidades de \mathrm{J} / \mathrm{m}^{3} com e sem dielétrico.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (todos extraídos do enunciado):
  • Capacitância com ar entre as placas: C_{0}=8{,}00\\ \mathrm{pF}=8{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
  • Distância entre as placas: d=1{,}50\\ \mathrm{mm}=1{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Campo elétrico máximo permitido entre as placas: E_{\max}=3{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{V/m}.
  • Constante dielétrica do material inserido (quando aplicável): \kappa=2{,}70.
    As perguntas são:
    (a) Qual o módulo máximo da carga Q em cada placa se o campo não exceder E_{\max} (situação sem dielétrico)?
    (b) Qual é a área A de cada placa?
    (c) Com o dielétrico ( \kappa=2{,}70) preenchendo totalmente o espaço entre as placas, qual o módulo máximo de carga em cada placa, se o campo não exceder o mesmo E_{\max}?
    (d) Calcule a densidade de energia elétrica na região entre as placas (em \mathrm{J/m^{3}}) com e sem o dielétrico.

Passo 2

Resumo das fórmulas e conceitos que vou usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • A relação entre diferença de potencial e campo elétrico entre placas paralelas, assumindo campo uniforme, é
V=E\,d,
onde V é a tensão entre as placas, E o módulo do campo elétrico e d a separação das placas.
  • A carga nas placas e a capacitância estão relacionadas por
Q=C\,V,
onde Q é a carga (módulo) numa placa, C a capacitância do capacitor e V a diferença de potencial entre placas.
  • Para um capacitor de placas paralelas com vácuo (ou ar aproximando vácuo), a capacitância vale
C=\varepsilon_{0}\frac{A}{d},
onde A é a área de cada placa e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} é a permissividade do vácuo. Como o enunciado nos deu C_{0} com ar, vale C_{0}=\varepsilon_{0}A/d.
  • Ao inserir totalmente um dielétrico homogêneo com constante \kappa, a capacitância fica
C=\kappa C_{0}.
  • A densidade de energia elétrica (energia por unidade de volume) em um meio linear homogêneo, para um campo elétrico E, é
u=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2},
onde \varepsilon é a permissividade do meio: \varepsilon=\varepsilon_{0} sem dielétrico (ar) e \varepsilon=\kappa\varepsilon_{0} com dielétrico.
Método prático para cada item:
  • (a) Calcular V_{\max}=E_{\max}d e então Q_{\max}=C_{0}V_{\max}.
  • (b) Usar A=C_{0}d/\varepsilon_{0}.
  • (c) Com dielétrico C=\kappa C_{0}, então Q_{\max,\text{diel}}=C\,V_{\max}=\kappa C_{0}V_{\max}.
  • (d) Calcular u_{\text{sem}}=\tfrac{1}{2}\varepsilon_{0}E_{\max}^{2} e u_{\text{com}}=\tfrac{1}{2}\kappa\varepsilon_{0}E_{\max}^{2}.

Passo 3

Cálculo do item (a): encontrar a carga máxima sem dielétrico.
Primeiro a tensão máxima entre as placas quando E=E_{\max}:
V_{\max}=E_{\max}\,d.
Substituindo os valores:
V_{\max}=(3{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{V/m})\times(1{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m})=45{,}0\\ \mathrm{V}.
Agora Q_{\max}=C_{0}V_{\max}. Usando C_{0}=8{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{F}:
Q_{\max}= (8{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{F})\times(45{,}0\\ \mathrm{V})=3{,}60\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
Portanto, o módulo máximo da carga por placa (sem dielétrico) é 3{,}60\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Cálculo do item (b): área de cada placa.
Usando C_{0}=\varepsilon_{0}A/d, isolamos A:
A=\frac{C_{0}d}{\varepsilon_{0}}.
Substituindo C_{0}=8{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{F}, d=1{,}50\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
A=\frac{(8{,}00\times10^{-12})(1{,}50\times10^{-3})}{8{,}854\times10^{-12}} =\frac{1{,}20\times10^{-14}}{8{,}854\times10^{-12}} \approx 1{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
(Se preferir em centímetros quadrados: 1{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}=13{,}6\\ \mathrm{cm^{2}}.)

Passo 5

Cálculo do item (c): carga máxima com o dielétrico \kappa=2{,}70 preenchendo totalmente entre as placas.
Com dielétrico a capacitância aumenta para C=\kappa C_{0}. A tensão máxima continua V_{\max}=E_{\max}d (já calculada). Assim
Q_{\max,\text{diel}}=C\,V_{\max}=\kappa C_{0}V_{\max}.
Usando o valor de Q_{\max} do item (a) fica diretamente
Q_{\max,\text{diel}}=\kappa \,Q_{\max}=(2{,}70)\times(3{,}60\times10^{-10}\\ \mathrm{C}) =9{,}72\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
Observação física curta: o dielétrico permite armazenar mais carga para a mesma tensão (ou para o mesmo campo) porque aumenta a permissividade.

Passo 6

Cálculo do item (d): densidade de energia com e sem dielétrico.
Fórmula: u=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2}.
  • Sem dielétrico ( \varepsilon=\varepsilon_{0}):
u_{\text{sem}}=\tfrac{1}{2}\varepsilon_{0}E_{\max}^{2} =\tfrac{1}{2}(8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m})(3{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{V/m})^{2}.
Calcule E_{\max}^{2}=(3{,}00\times10^{4})^{2}=9{,}00\times10^{8}. Então
u_{\text{sem}}=\tfrac{1}{2}(8{,}854\times10^{-12})(9{,}00\times10^{8}) \approx 3{,}98\times10^{-3}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
  • Com dielétrico ( \varepsilon=\kappa\varepsilon_{0}):
u_{\text{com}}=\tfrac{1}{2}\kappa\varepsilon_{0}E_{\max}^{2} =\kappa\,u_{\text{sem}}.
Portanto
u_{\text{com}}=(2{,}70)\times(3{,}98\times10^{-3}\\ \mathrm{J/m^{3}}) \approx 1{,}08\times10^{-2}\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Resposta

(a) Q_{\max}=3{,}60\times10^{-10}\\ \mathrm{C}
(b) A=1{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}
(c) Q_{\max,\text{diel}}=9{,}72\times10^{-10}\\ \mathrm{C}
(d) u_{\text{sem}}=3{,}98\times10^{-3}\\ \mathrm{J/m^{3}}
u_{\text{com}}=1{,}08\times10^{-2}\\ \mathrm{J/m^{3}}

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