Considere uma particula com massa m\) presa em um poço de potencial: \[V(x)= \begin{cases}0 & \text { para } 0 \leq x \leq L \\\ \infty & \text { para outro caso }\end{cases}
Sabenco que a função da onda da particula é:
\Psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{2}} \sin \left(\frac{\pi x}{L}\right): n=1,2,3, \ldots\] Calcule o espectro das energias da partícula \(E_{n}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O potencial unidimensional de poço infinito:
V(x)=\begin{cases}0 & \text{para } 0\le x\le L,\\[4pt]\infty & \text{caso contrário.}\end{cases}á
  • Uma função de onda indicada como
\Psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{2}}\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right),\qquad n=1,2,3,\ldots
  • A pergunta: calcular o espectro das energias da partícula E_{n}.
Informações relevantes que vamos usar (retidas do enunciado):
  • A partícula está confinada em 0\le x\le L com paredes infinitas em x=0 e x=L.
  • Dentro do poço ( V=0) a equação de Schrödinger independente do tempo se aplica.
  • O enunciado fornece uma forma de função de onda, mas a normalização e a dependência em n parecem inconsistentes com o que se espera tipicamente; vamos deduzir corretamente os autovalores de energia e mostrar também a forma normalizada correta das autofunções.]

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço (onde V=0). Essa equação diz que a energia cinética quântica age sobre a função de onda como:
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\,\dfrac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}} = E\,\psi(x).
Aqui:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar = \dfrac{h}{2\pi}).
  • m é a massa da partícula.
  • E é a energia (autovalor) associada à autofunção \psi(x).
    Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea.

Passo 3

Reescrever a equação em forma estándar, definindo
k^{2} \equiv \dfrac{2mE}{\hbar^{2}}.
Substituindo, a equação torna-se
\dfrac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}} + k^{2}\psi(x) = 0.
A solução geral dessa equação (equação harmónica) é
\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno ditadas pelas paredes infinitas:
  • Em x=0 a função de onda deve ser nula ( \psi(0)=0), porque a probabilidade de encontrar a partícula fora do poço é zero e a onda atinge zero na parede. Avaliando:
\psi(0)=A\sin(0)+B\cos(0)=B \overset{!}{=}0 \quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto \psi(x)=A\sin(kx).
  • Em x=L também a função de onda deve ser nula ( \psi(L)=0):
\psi(L)=A\sin(kL)=0.
Para não ter a solução trivial A=0 (que representa estado inexistente), exige-se
\sin(kL)=0 \quad\Rightarrow\quad kL = n\pi,
com n inteiro. O caso n=0 dá a função nula, então mantemos n=1,2,3,\ldots. Assim
k = \dfrac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\ldots

Passo 5

Relacionar k com a energia E. Lembrando a definição k^{2}=\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}, substituindo o valor quantizado de k obtemos:
\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{2} = \dfrac{2mE_{n}}{\hbar^{2}}.
Resolvendo para E_{n}:
E_{n} = \dfrac{\hbar^{2}}{2m}\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{2} = \dfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}, \qquad n=1,2,3,\ldots
Isso mostra que as energias são discretas e crescem com n^{2}.

Passo 6

Normalização das autofunções (aula curta sobre normalização): a probabilidade total de encontrar a partícula no poço deve ser 1, ou seja
\int_{0}^{L} |\psi_{n}(x)|^{2}\,dx = 1.
Com \psi_{n}(x)=A\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) temos
|A|^{2}\int_{0}^{L} \sin^{2}\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) dx = |A|^{2}\cdot \dfrac{L}{2} = 1,
pois \displaystyle\int_{0}^{L}\sin^{2}\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)dx = \dfrac{L}{2} para inteiro n. Assim
|A|^{2}=\dfrac{2}{L}\quad\Rightarrow\quad A=\sqrt{\dfrac{2}{L}}.
Logo as autofunções normalizadas são
\psi_{n}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right),\qquad n=1,2,3,\ldots
Observação amigável: o enunciado trouxe \sqrt{\tfrac{2}{2}} e \sin\!\big(\tfrac{\pi x}{L}\big) sem o fator n. Isso parece um engano tipográfico; a forma correta (e necessária para obter o espectro acima) é a mostrada aqui.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: as energias estão quantizadas porque as condições de contorno obrigam as ondas a formarem modos estacionários com comprimentos de onda compatíveis com o comprimento do poço. O primeiro nível ( n=1) é o estado fundamental com energia mínima
E_{1}=\dfrac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}},
e os níveis seguintes são múltiplos quadráticos desse valor ( E_{n}=n^{2}E_{1}). Memorize a fórmula e a forma das autofunções normalizadas; em prova normalmente pedem exatamente essa derivação curta a partir da equação de Schrödinger e das condições de contorno.

Resposta

E_{n}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}},\qquad n=1,2,3,\ldots

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