Considere uma particula com massa
Sabenco que a função da onda da particula é:
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O potencial unidimensional de poço infinito:
- Uma função de onda indicada como
- A pergunta: calcular o espectro das energias da partícula
.
Informações relevantes que vamos usar (retidas do enunciado):
- A partícula está confinada em
com paredes infinitas em e . - Dentro do poço (
) a equação de Schrödinger independente do tempo se aplica. - O enunciado fornece uma forma de função de onda, mas a normalização e a dependência em
parecem inconsistentes com o que se espera tipicamente; vamos deduzir corretamente os autovalores de energia e mostrar também a forma normalizada correta das autofunções.]
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo dentro do poço (onde
). Essa equação diz que a energia cinética quântica age sobre a função de onda como:
Aqui:
-
é a constante de Planck reduzida ( ). -
é a massa da partícula. -
é a energia (autovalor) associada à autofunção .
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea.
Passo 3
Reescrever a equação em forma estándar, definindo
Substituindo, a equação torna-se
A solução geral dessa equação (equação harmónica) é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno ditadas pelas paredes infinitas:
- Em
a função de onda deve ser nula ( ), porque a probabilidade de encontrar a partícula fora do poço é zero e a onda atinge zero na parede. Avaliando:
Portanto
.
- Em
também a função de onda deve ser nula ( ):
Para não ter a solução trivial
(que representa estado inexistente), exige-se
com
inteiro. O caso
dá a função nula, então mantemos
. Assim
Passo 5
Relacionar
com a energia
. Lembrando a definição
, substituindo o valor quantizado de
obtemos:
Resolvendo para
:
Isso mostra que as energias são discretas e crescem com
.
Passo 6
Normalização das autofunções (aula curta sobre normalização): a probabilidade total de encontrar a partícula no poço deve ser
, ou seja
Com
temos
pois
para inteiro
. Assim
Logo as autofunções normalizadas são
Observação amigável: o enunciado trouxe
e
sem o fator
. Isso parece um engano tipográfico; a forma correta (e necessária para obter o espectro acima) é a mostrada aqui.
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova: as energias estão quantizadas porque as condições de contorno obrigam as ondas a formarem modos estacionários com comprimentos de onda compatíveis com o comprimento do poço. O primeiro nível (
) é o estado fundamental com energia mínima
e os níveis seguintes são múltiplos quadráticos desse valor (
). Memorize a fórmula e a forma das autofunções normalizadas; em prova normalmente pedem exatamente essa derivação curta a partir da equação de Schrödinger e das condições de contorno.