(UFSCAR) Três bolas metálicas podem ser carregadas eletricamente. Observa-se que cada uma das três bolas atrai uma e repele outra. Três hipóteses são apresentadas:
I. Apenas uma das bolas está carregada.
II. Duas das bolas estão carregadas.
III. As três bolas estão carregadas.
O fenômeno pode ser explicado
a) somente pelas hipóteses II ou III.
b) somente pela hipótese I.
c) somente pela hipótese III.
d) somente pela hipótese II.
e) somente pelas hipóteses I ou II.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Três bolas metálicas (condutoras) são testadas entre si.
  • Observa-se que cada uma das três bolas atrai uma das outras e repele a outra. Ou seja, para cada bola, entre as outras duas, uma é atraída por ela e a outra é repelida por ela.
    As hipóteses a verificar são:
    I. Apenas uma das bolas está carregada.
    II. Duas das bolas estão carregadas.
    III. As três bolas estão carregadas.
    A pergunta: qual(is) das hipóteses podem explicar a observação?

Passo 2

Conceitos básicos e premissas que vou usar (explicados de forma simples):
  • Carga elétrica com sinal igual se repelem; sinais opostos se atraem. Em linguagem matemática: se q_i e q_j são as cargas, o produto q_i q_j>0 dá repulsão e q_i q_j<0 dá atração.
  • Uma bola metálica neutra (carga zero) é atraída por uma bola carregada: o campo da bola carregada induz separação de cargas na neutra e isso produz sempre uma força de atração (independente do sinal da carga da bola carregada).
  • As forças eletrostáticas entre duas bolas isoladas dependem do sinal das cargas; a atração/repulsão entre dois corpos é mútua e simétrica (se A atrai B, então B atrai A; se A repele B, então B repele A).
    Com isso em mente, vou testar cada hipótese.

Passo 3

Teste da hipótese I (apenas uma bola está carregada).
  • Se apenas uma bola está carregada, as outras duas são neutras. Uma bola carregada atrai uma bola neutra (por indução), então a bola carregada atrairá as duas bolas neutras. Logo, a bola carregada atrai ambas as outras (duas atrações, sem repulsão).
  • As duas bolas neutras entre si não exercem forças elétricas (se realmente neutras) ou, no mínimo, não haverá repulsão de uma pela outra.
  • Conclusão: não é possível que, sob I, cada bola atraia uma e repila outra. Em particular a bola carregada não poderia repelir nenhuma das outras, e as neutras não poderiam repelir.
    Portanto a hipótese I é incompatível com a observação.

Passo 4

Teste da hipótese II (duas bolas estão carregadas, a terceira é neutra).
Existem dois subcasos conforme os sinais das duas cargas:
  • Subcaso A: as duas cargas têm sinais opostos (uma positiva e outra negativa). Essas duas se atraem entre si. A bola neutra é atraída por qualquer bola carregada. Logo cada bola carregada seria atraída pela outra carregada e também atrai a neutra — cada carregada atrai ambas as outras (duas atrações). A bola neutra é atraída por ambas as carregadas (duas atrações). Assim não há a situação “cada bola atrai uma e repele outra”.
  • Subcaso B: as duas cargas têm o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas). As duas carregadas se repelem entre si; cada carregada atrairá a neutra (por indução). Assim cada bola carregada tem uma atração (pela neutra) e uma repulsão (pela outra carregada) — isso satisfaz a condição para as duas carregadas. Mas a bola neutra é atraída por ambas as carregadas (duas atrações) e, portanto, não repele nenhuma. Logo a bola neutra não satisfaz “atrai uma e repele outra”.
    Em ambos os subcasos há uma contradição com a observação de que cada uma das três bolas atrai uma e repele outra.
    Portanto a hipótese II também é incompatível com a observação.

Passo 5

Teste da hipótese III (todas as três bolas estão carregadas).
  • Se todas têm carga não nula, os sinais possíveis são combinações de + e -. Denote as bolas por 1,2,3 e escreva e_{ij} como o sinal da interação entre i e j: e_{ij}=+1 para repulsão e e_{ij}=-1 para atração. Note que e_{ij}=e_{ji}.
  • A condição “cada bola atrai uma e repele a outra” significa, para a bola 1, que e_{12} e e_{13} têm sinais opostos; isto é, e_{12} = -\,e_{13}.
  • Analogamente, para a bola 2: e_{21} = -\,e_{23}, e para a bola 3: e_{31} = -\,e_{32}.
  • Usando e_{ij}=e_{ji}, essas três condições são: e_{12} = -\,e_{13},\qquad e_{12} = -\,e_{23},\qquad e_{13} = -\,e_{23}.Das duas primeiras igualdades segue e_{13}=e_{23}. Mas a terceira igualdade exige e_{13}=-\,e_{23}. Isso é uma contradição ( e_{13} não pode ser igual e simultaneamente oposto a e_{23}).
  • Em termos mais simples: não existe uma atribuição de sinais (+,-) às três bolas tal que cada bola tenha entre as duas restantes uma de mesma carga e outra de carga oposta. Com 3 elementos isso é impossível (ou todos têm o mesmo sinal, ou há duas de um sinal e uma do outro — em nenhum caso cada elemento tem um igual e um diferente).
    Portanto a hipótese III também não permite observar que cada bola atrai uma e repele outra.

Passo 6

Como I, II e III foram examinadas e cada uma leva a contradição com a afirmação experimental “cada uma das três bolas atrai uma e repele outra”, concluímos que o fenômeno descrito não pode ser explicado por nenhuma das três hipóteses propostas (assumindo bolas isoladas, metálicas e comportamento eletrostático usual).

Resposta

Nenhuma das hipóteses I, II ou III explica o fenômeno.

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