Um capacitor de placas paralelas tem uma carga q e a área das placas é A. Mostre que a força por unidade de área (a tensão eletrostática) a que cada placa está sujeita é igual à densidade de energia varepsilon0 E^2 / 2 na região entre as placas.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: a gente tem um capacitor de placas paralelas, cada placa com carga u = varepsilon0 E^22 e área . A meta é mostrar que a força por unidade de área (ou “pressão eletrostática”) na placa vale exatamente a densidade de energia
que existe entre as placas.
Conteúdo: eletrostática de placas infinitas (Lei de Gauss), definição de densidade de carga superficial , cálculo de campo e energia de campo.

Passo 2

Primeiro a gente precisa achar o campo elétrico entre as placas.
  1. Definimos a densidade de carga superficial:
sigma = qA
  1. Pela Lei de Gauss para uma placa infinita com carga Eplaca = sigma2varepsilon0 , o campo de cada lado vale
E = Eplaca positiva + Eplaca negativa = sigma2varepsilon0 + sigma2varepsilon0 = sigmavarepsilon0
Como temos duas placas com cargas opostas, os campos se somam entre as placas. Então

Passo 3

Agora vamos achar a força por unidade de área em uma das placas. A força total na placa é
F = q times E>=rado só pela outra placa ó
Mas o campo que atua numa placa devido à outra é só metade do total, ou seja
Eoutra = sigma2varepsilon0
Dividindo a força pela área FA = qA;Eoutra = sigma ;sigma2varepsilon0 = sigma^22varepsilon0 , vem

Passo 4

Por fim, a densidade de energia do campo entre as placas é dada por
u = 12,varepsilon0,E^2
Substituindo u = 12,varepsilon0;l(tfracsigmavarepsilon0r)^2 = sigma^22varepsilon0 , a gente tem

Resposta

Portanto, a força por unidade de área na placa é
FA = sigma^22varepsilon0
e isso coincide exatamente com a densidade de energia
u = varepsilon0 E^22

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