Um capacitor de placas planas e paralelas cujas dimensões são 0,5 \mathrm{~m} e 1,0 \mathrm{~m}, estão separadas pelo ar ( \epsilon=8,85.10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} ) por uma distância de 2 cm . Determine a energia armazenada por este capacitor quando estiver sujeito à ddp de 10 V .

Passo 1

O problema pede para determinar a energia armazenada por um capacitor de placas planas e paralelas quando submetido a uma diferença de potencial.
Informações fornecidas no enunciado (todas em TeX):
  • dimensões das placas: 0,5\\ \mathrm{m} e 1,0\\ \mathrm{m} (dados do enunciado);
  • separação entre as placas: 2\\ \mathrm{cm} (dado do enunciado);
  • meio entre as placas: ar, com permissividade \epsilon = 8,85\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (dado do enunciado);
  • diferença de potencial aplicada: V = 10\\ \mathrm{V} (dado do enunciado).
A pergunta explícita: calcular a energia armazenada U no capacitor para esses dados.

Passo 2

Apresentando a fórmula que relaciona capacitância de um capacitor de placas paralelas com as suas características:
C = \epsilon \frac{A}{d}
Expliquei cada termo para você não se perder:
  • C é a capacitância, em farads ( \mathrm{F}). É a “capacidade” do capacitor de armazenar carga por unidade de tensão.
  • \epsilon é a permissividade do meio entre as placas, em \mathrm{F/m}. Para ar usamos o valor dado.
  • A é a área de uma placa, em \mathrm{m^2}. Se as placas têm lados a e b, então A = a\cdot b.
  • d é a distância entre as placas, em \mathrm{m}.
Raciocínio: primeiro vamos calcular a capacitância C com essa fórmula; depois usamos a fórmula da energia armazenada em um capacitor:
U = \frac{1}{2}\,C\,V^{2}
onde U é a energia em joules ( \mathrm{J}) e V é a ddp aplicada em volts ( \mathrm{V}). Vou aplicar essas duas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular a área A das placas (produto dos lados fornecidos). Usando os números do enunciado:
A = 0,5\\ \mathrm{m}\times 1,0\\ \mathrm{m} = 0,5\\ \mathrm{m^{2}}
Expliquei: multiplica-se comprimento por largura. Fácil.

Passo 4

Converter a separação d de centímetros para metros (sempre trabalhar no SI):
d = 2\\ \mathrm{cm} = 2\times 10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0,02\\ \mathrm{m}
Mostrar a conversão evita erros de ordem de grandeza.

Passo 5

Calcular a capacitância C usando \;C=\epsilon\frac{A}{d}\;. Substituindo os valores:
C = \left(8,85\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\right)\cdot\frac{0,5\\ \mathrm{m^{2}}}{0,02\\ \mathrm{m}}
Calculo intermediário da fração:
\frac{0,5}{0,02} = 25
Portanto
C = 8,85\times 10^{-12}\times 25\\ \mathrm{F} = 2,2125\times 10^{-10}\\ \mathrm{F}
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas além da potência):
C \approx 2,21\times 10^{-10}\\ \mathrm{F}

Passo 6

Agora usamos a fórmula da energia:
U = \frac{1}{2}\,C\,V^{2}
Explico: essa fórmula vem da integração do trabalho necessário para carregar o capacitor incrementalmente; V é a tensão entre as placas e C a capacitância que acabamos de calcular.
Substituindo os valores ( V=10\\ \mathrm{V}, C=2,2125\times10^{-10}\\ \mathrm{F}):
U = \frac{1}{2}\times 2,2125\times 10^{-10}\\ \mathrm{F}\times (10\\ \mathrm{V})^{2}

Passo 7

Fazendo as contas passo a passo:
(10\\ \mathrm{V})^{2} = 100\\ \mathrm{V^{2}}
C V^{2} = 2,2125\times 10^{-10}\times 100 = 2,2125\times 10^{-8}\\ \mathrm{J}
U = \frac{1}{2}\times 2,2125\times 10^{-8} = 1,10625\times 10^{-8}\\ \mathrm{J}
Arredondando para três algarismos significativos:
U \approx 1,11\times 10^{-8}\\ \mathrm{J}
Para intuição, em unidades menores isso é aproximadamente 11,1\\ \mathrm{nJ} (já que 1\\ \mathrm{nJ}=10^{-9}\\ \mathrm{J}).

Resposta

1,11\times 10^{-8}\\ \mathrm{J}

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