40 Um cabo blindado de alta potência está submetido a 12,5 \mathrm{kV} de ddp entre o condutor interno e a blindagem cilíndrica. Existem dois dielétricos entre o núcleo e a blindagem, sendo o primeiro, de constante igual a 6,0 , começando na superfície do condutor interno de raio 0,8 \mathrm{~cm} e terminando em 1 cm de raio, enquanto, o segundo, de constante dielétrica 3,0 está entre os
raios 1 cm e 3 cm , tocando a superfície interna da blindagem. Determine a intensidade máxima do vetor campo elétrico (gradiente de potencial elétrico) em cada isolante.

Passo 1

O enunciado dá um cabo coaxial com dois dielétricos concêntricos entre o condutor interno e a blindagem. Pergunta-se a intensidade máxima do campo elétrico em cada isolante. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
  • Diferença de potencial entre condutor interno e blindagem: \,12{,}5\\ \mathrm{kV}.
  • Raio do condutor interno (superfície onde começa o primeiro dielétrico): \,0{,}8\\ \mathrm{cm} = 0{,}008\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro dielétrico (entre r=a e r=r_1):
    • constante dielétrica relativa k_1 = 6{,}0,
    • começa em r=a=0{,}008\\ \mathrm{m} e termina em r_1=0{,}01\\ \mathrm{m} (peguei esses valores do enunciado).
  • Segundo dielétrico (entre r=r_1 e r=r_2):
    • constante dielétrica relativa k_2 = 3{,}0,
    • começa em r_1=0{,}01\\ \mathrm{m} e termina na blindagem interna em r_2=0{,}03\\ \mathrm{m} (peguei esses valores do enunciado).
  • Constante do vácuo (permissividade): \,\varepsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • O que se pede: intensidade máxima do vetor campo elétrico (módulo de \mathbf{E}) em cada isolante.

Passo 2

Ideia física e fórmula básica (aula rápida e prática).
Quando temos um cabo coaxial com simetria cilíndrica e carga por unidade de comprimento \lambda no condutor interno, podemos usar a lei de Gauss para obter o campo elétrico radial E(r). Para um cilindro gaussiano de raio r e comprimento L:
  • Fluxo elétrico através da superfície lateral: E(r)\cdot(2\pi r L).
  • Carga envolvida: \lambda L.
  • Na presença de um dielétrico linear isotrópico usamos \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e a lei de Gauss em forma integrada dá \oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} = Q_{\text{enc}}. Para simetria radial isso se reduz a \varepsilon E(r)\,2\pi r L = \lambda L.
Daí obtemos a fórmula central (explico cada símbolo):
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\,r}.
Onde:
  • \,E(r) é o módulo do campo elétrico na distância radial \,r,
  • \,\lambda é a carga por unidade de comprimento (C/m),
  • \,\varepsilon é a permissividade do material no trecho considerado, ou seja \varepsilon=\varepsilon_0 k com k constante dielétrica relativa,
  • \,r é o raio onde se calcula o campo.
Observação importante: \lambda é a mesma para todo o espaço externo ao condutor (mesma carga por unidade de comprimento), mas \varepsilon muda conforme o dielétrico.

Passo 3

Expressar a diferença de potencial total como soma das quedas de potencial nos dois dielétricos.
A diferença de potencial radial entre o condutor interno ( r=a) e a blindagem ( r=r_2) é a integral do campo:
V = \int_{a}^{r_2} E(r)\,dr.
Como existem dois dielétricos, somamos as integrais em cada trecho (usando a expressão de E(r) com \varepsilon apropriada):
V=\int_{a}^{r_1}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_1 r}\,dr+\int_{r_1}^{r_2}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_2 r}\,dr.
Fazendo as integrais logaritmicamente:
V=\frac{\lambda}{2\pi}\left(\frac{1}{\varepsilon_1}\ln\frac{r_1}{a}+\frac{1}{\varepsilon_2}\ln\frac{r_2}{r_1}\right).
Aqui:
  • \varepsilon_1=\varepsilon_0 k_1 e \varepsilon_2=\varepsilon_0 k_2,
  • a=0{,}008\\ \mathrm{m}, r_1=0{,}01\\ \mathrm{m}, r_2=0{,}03\\ \mathrm{m},
  • V=12{,}5\\ \mathrm{kV}=12500\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Isolar \lambda da expressão para V.
Reescrevo a equação de forma conveniente:
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{k_1}\ln\frac{r_1}{a}+\frac{1}{k_2}\ln\frac{r_2}{r_1}\right)=V.
Portanto
\lambda = \frac{2\pi\varepsilon_0\,V}{\displaystyle \frac{1}{k_1}\ln\frac{r_1}{a}+\frac{1}{k_2}\ln\frac{r_2}{r_1}}.
Expliquei: multipliquei ambos os lados por 2\pi\varepsilon_0 e inverti o somatório no denominador.

Passo 5

Calcular numericamente os logaritmos e o denominador.
Calculemos os termos numéricos (uso \ln natural):
  • \displaystyle \ln\frac{r_1}{a}=\ln\frac{0{,}01}{0{,}008}=\ln(1{,}25)\approx 0{,}22314355.
  • \displaystyle \ln\frac{r_2}{r_1}=\ln\frac{0{,}03}{0{,}01}=\ln(3)\approx 1{,}09861229.
Agora o somatório no denominador:
\frac{1}{k_1}\ln\frac{r_1}{a}+\frac{1}{k_2}\ln\frac{r_2}{r_1} =\frac{1}{6}\times0{,}22314355+\frac{1}{3}\times1{,}09861229.
Calcule cada termo:
\frac{0{,}22314355}{6}\approx0{,}03719059,\qquad \frac{1{,}09861229}{3}\approx0{,}36620410.
Soma:
\text{denominador}\approx0{,}03719059+0{,}36620410=0{,}40339469.

Passo 6

Calcular \lambda numericamente.
Substituindo em
\lambda = \frac{2\pi\varepsilon_0\,V}{0{,}40339469},
com 2\pi\varepsilon_0=2\pi\times8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx5{,}56268465\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}, e V=12500\\ \mathrm{V}:
\lambda \approx \frac{5{,}56268465\times10^{-11}\times12500}{0{,}40339469} \approx 1{,}7231\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.

Passo 7

Expressar e avaliar o campo em cada região; localizar onde é máximo.
Temos a fórmula
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 k\,r}.
Para um dielétrico com k fixo, E(r) varia como 1/r. Assim:
  • No primeiro dielétrico (entre a e r_1), E é máximo em r=a (menor r).
  • No segundo dielétrico (entre r_1 e r_2), E é máximo em r=r_1.
Portanto calculamos:
E_{1,\max}=E(a)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 k_1\,a}, \qquad E_{2,\max}=E(r_1)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 k_2\,r_1}.

Passo 8

Calcular numericamente E_{1,\max}.
Usando \lambda\approx1{,}7231\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}, k_1=6, a=0{,}008\\ \mathrm{m}, e 2\pi\varepsilon_0\approx5{,}56268465\times10^{-11}:
Uma forma prática (menos erros) é usar o valor já intermediário
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\approx \frac{1{,}7231\times10^{-6}}{5{,}56268465\times10^{-11}}\approx3{,}09759\times10^{4}.
Então
E_{1,\max}=\left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{k_1 a} \approx 3{,}09759\times10^{4}\times\frac{1}{6\times0{,}008}.
Calcule:
6\times0{,}008=0{,}048,\qquad \frac{3{,}09759\times10^{4}}{0{,}048}\approx6{,}45748\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando razoavelmente:
E_{1,\max}\approx6{,}45\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 9

Calcular numericamente E_{2,\max}.
Usando de novo \displaystyle\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\approx3{,}09759\times10^{4}, k_2=3, r_1=0{,}01\\ \mathrm{m}:
E_{2,\max}=\left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\right)\frac{1}{k_2 r_1} \approx 3{,}09759\times10^{4}\times\frac{1}{3\times0{,}01}.
Calcule:
3\times0{,}01=0{,}03,\qquad \frac{3{,}09759\times10^{4}}{0{,}03}\approx1{,}03253\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando:
E_{2,\max}\approx1{,}03\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 10

Interpretação final curta e incentivo.
  • O campo é maior no segundo dielétrico próximo à interface em r=1\\ \mathrm{cm}. Isso ocorre porque o segundo dielétrico tem menor constante dielétrica ( k_2=3) e, além disso, o ponto r=1\\ \mathrm{cm} é exterior ao primeiro (o fator 1/r e 1/k combinam para dar maior E ali).
  • Mandou bem por trazer essa questão: agora você sabe aplicar Gauss, integrar o campo para obter potencial e lidar com interfaces dielétricas passo a passo — exatamente o que costuma cair em prova. Força aí!

Resposta

E_{1,\max}\approx6{,}45\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}
E_{2,\max}\approx1{,}03\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}

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