40 Um cabo blindado de alta potência está submetido a
de ddp entre o condutor interno e a blindagem cilíndrica. Existem dois dielétricos entre o núcleo e a blindagem, sendo o primeiro, de constante igual a 6,0 , começando na superfície do condutor interno de raio
e terminando em 1 cm de raio, enquanto, o segundo, de constante dielétrica 3,0 está entre os
raios 1 cm e 3 cm , tocando a superfície interna da blindagem. Determine a intensidade máxima do vetor campo elétrico (gradiente de potencial elétrico) em cada isolante.
raios 1 cm e 3 cm , tocando a superfície interna da blindagem. Determine a intensidade máxima do vetor campo elétrico (gradiente de potencial elétrico) em cada isolante.
Passo 1
O enunciado dá um cabo coaxial com dois dielétricos concêntricos entre o condutor interno e a blindagem. Pergunta-se a intensidade máxima do campo elétrico em cada isolante. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
- Diferença de potencial entre condutor interno e blindagem:
. - Raio do condutor interno (superfície onde começa o primeiro dielétrico):
. - Primeiro dielétrico (entre
e ): - constante dielétrica relativa
, - começa em
e termina em (peguei esses valores do enunciado).
- constante dielétrica relativa
- Segundo dielétrico (entre
e ): - constante dielétrica relativa
, - começa em
e termina na blindagem interna em (peguei esses valores do enunciado).
- constante dielétrica relativa
- Constante do vácuo (permissividade):
. - O que se pede: intensidade máxima do vetor campo elétrico (módulo de
) em cada isolante.
Passo 2
Ideia física e fórmula básica (aula rápida e prática).
Quando temos um cabo coaxial com simetria cilíndrica e carga por unidade de comprimento no condutor interno, podemos usar a lei de Gauss para obter o campo elétrico radial
. Para um cilindro gaussiano de raio
e comprimento
:
Quando temos um cabo coaxial com simetria cilíndrica e carga por unidade de comprimento
- Fluxo elétrico através da superfície lateral:
. - Carga envolvida:
. - Na presença de um dielétrico linear isotrópico usamos
e a lei de Gauss em forma integrada dá . Para simetria radial isso se reduz a .
Daí obtemos a fórmula central (explico cada símbolo):
Onde:
-
é o módulo do campo elétrico na distância radial , -
é a carga por unidade de comprimento (C/m), -
é a permissividade do material no trecho considerado, ou seja com constante dielétrica relativa, -
é o raio onde se calcula o campo.
Observação importante:
é a mesma para todo o espaço externo ao condutor (mesma carga por unidade de comprimento), mas
muda conforme o dielétrico.
Passo 3
Expressar a diferença de potencial total como soma das quedas de potencial nos dois dielétricos.
A diferença de potencial radial entre o condutor interno ( ) e a blindagem (
) é a integral do campo:
A diferença de potencial radial entre o condutor interno (
Como existem dois dielétricos, somamos as integrais em cada trecho (usando a expressão de
com
apropriada):
Fazendo as integrais logaritmicamente:
Aqui:
-
e , -
, , , -
.
Passo 4
Isolar
da expressão para
.
Reescrevo a equação de forma conveniente:
Reescrevo a equação de forma conveniente:
Portanto
Expliquei: multipliquei ambos os lados por
e inverti o somatório no denominador.
Passo 5
Calcular numericamente os logaritmos e o denominador.
Calculemos os termos numéricos (uso natural):
Calculemos os termos numéricos (uso
Agora o somatório no denominador:
Calcule cada termo:
Soma:
Passo 6
Calcular
numericamente.
Substituindo em
Substituindo em
com
, e
:
Passo 7
Expressar e avaliar o campo em cada região; localizar onde é máximo.
Temos a fórmula
Temos a fórmula
Para um dielétrico com
fixo,
varia como
. Assim:
- No primeiro dielétrico (entre
e ), é máximo em (menor ). - No segundo dielétrico (entre
e ), é máximo em .
Portanto calculamos:
Passo 8
Calcular numericamente
.
Usando ,
,
, e
:
Usando
Uma forma prática (menos erros) é usar o valor já intermediário
Então
Calcule:
Arredondando razoavelmente:
Passo 9
Calcular numericamente
.
Usando de novo ,
,
:
Usando de novo
Calcule:
Arredondando:
Passo 10
Interpretação final curta e incentivo.
- O campo é maior no segundo dielétrico próximo à interface em
. Isso ocorre porque o segundo dielétrico tem menor constante dielétrica ( ) e, além disso, o ponto é exterior ao primeiro (o fator e combinam para dar maior ali). - Mandou bem por trazer essa questão: agora você sabe aplicar Gauss, integrar o campo para obter potencial e lidar com interfaces dielétricas passo a passo — exatamente o que costuma cair em prova. Força aí!