Um condutor sólido tem uma superfície descrita por
e estende-se até a origem. Nesta superfície, o módulo do vetor campo elétrico é
. Determine
e
na superfície e calcule a densidade de carga superficial.
Passo 1
O enunciado dá uma superfície condutora descrita pela equação
e que se estende até a origem. Na superfície, o módulo do campo elétrico vale
. O que se pede:
- Determinar o vetor campo elétrico
na superfície (vetor com direção e sentido, não só o módulo). - Determinar o vetor deslocamento elétrico
na superfície. - Calcular a densidade de carga superficial
na superfície.
Informações relevantes fornecidas (listei para não nos perder):
- Equação da superfície:
. - Módulo do campo elétrico na superfície:
. - A superfície é a face externa de um condutor sólido que se estende até a origem (logo a origem está no interior do condutor).
- Presumo meio livre / vácuo fora do condutor, então usarei
para a permissividade do espaço livre: .
Passo 2
Entender a geometria e obter a normal à superfície (isso é crucial porque o campo numa superfície condutora é normal a ela).
A superfície é o plano
O vetor normal (não normalizado) a esse plano é dado pelo gradiente do lado esquerdo:
Agora normalizamos para obter o versor normal unitário
. O comprimento de
é
Logo o versor normal é
Agora sobre o sentido: como a origem
satisfaz
, a origem está dentro do condutor (região
). Assim o “fora” do condutor é a direção de aumento de
. Portanto o versor
calculado acima aponta para fora do condutor (sentido de
crescendo). Isso vai nos permitir decidir o sinal da densidade superficial.
Passo 3
Usar a condição de contorno para condutores: dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é zero. Imediatamente fora da superfície condutora, o campo elétrico é perpendicular (normal) à superfície. O componente normal do campo fora menos o componente normal dentro satisfaz a relação com a carga superficial livre.
Como dentro do condutor
, o campo imediatamente fora é normal e tem módulo dado pelo enunciado. Assim, escolhemos o campo fora apontando para o exterior (versor
). Então o vetor campo elétrico na superfície é
Substituindo
e
, obtemos em forma vetorial:
Vamos calcular os componentes numéricos (para usar depois):
Portanto, explicitamente,
Breve recapitulação da fórmula usada e por quê: escolhemos
normal porque cargas livres numa superfície condutora produzem campo apenas normal imediatamente fora; o valor do módulo foi dado.
Passo 4
Determinar
. No vácuo (ou ar, média não especificada) o vetor
está relacionado com
por
onde
é a permissividade do vácuo. Aqui
.
Substituindo
, temos
Numéricamente, cada componente vale
Logo
Passo 5
Calcular a densidade de carga superficial
.
Teorema / condição de contorno (explicação didática curta): pegue uma “caixinha” (pílula de Gauss) muito fina atravessando a superfície condutora. Aplicando a Lei de Gauss integral para
na pílula, o fluxo de
através da face externa menos o fluxo através da face interna (interna tem
porque
dentro) é igual à carga livre contida, que é
vezes a área. Isso leva à relação local
Como
e
é normal com componente
ao longo de
, simplifica para
Substituindo valores:
Sinal: como escolhemos
apontando para fora e
apontando na mesma direção, a densidade é positiva — isto é, há excesso de carga positiva na superfície que gera esse campo saindo da superfície.