Um condutor sólido tem uma superfície descrita por x+y=3 \mathrm{~m} e estende-se até a origem. Nesta superfície, o módulo do vetor campo elétrico é 0,35 \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine \vec{E} e \vec{D} na superfície e calcule a densidade de carga superficial.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície condutora descrita pela equação \;x+y=3\;\mathrm{m} e que se estende até a origem. Na superfície, o módulo do campo elétrico vale \;0,35\;\mathrm{V/m}. O que se pede:
  • Determinar o vetor campo elétrico \vec{E} na superfície (vetor com direção e sentido, não só o módulo).
  • Determinar o vetor deslocamento elétrico \vec{D} na superfície.
  • Calcular a densidade de carga superficial \sigma na superfície.
Informações relevantes fornecidas (listei para não nos perder):
  • Equação da superfície: \;x+y=3\;.
  • Módulo do campo elétrico na superfície: \;|\vec{E}|=0,35\;\mathrm{V/m}.
  • A superfície é a face externa de um condutor sólido que se estende até a origem (logo a origem está no interior do condutor).
  • Presumo meio livre / vácuo fora do condutor, então usarei \varepsilon_0 para a permissividade do espaço livre: \;\varepsilon_0\approx 8,854\times 10^{-12}\;\mathrm{F/m}.

Passo 2

Entender a geometria e obter a normal à superfície (isso é crucial porque o campo numa superfície condutora é normal a ela).
A superfície é o plano
x+y-3=0.
O vetor normal (não normalizado) a esse plano é dado pelo gradiente do lado esquerdo:
\vec{n}_0 = (1,1,0).
Agora normalizamos para obter o versor normal unitário \hat{n}. O comprimento de \vec{n}_0 é
\|\vec{n}_0\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.
Logo o versor normal é
\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+0\hat{k})=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}).
Agora sobre o sentido: como a origem (0,0,0) satisfaz 0+0<3, a origem está dentro do condutor (região x+y<3). Assim o “fora” do condutor é a direção de aumento de x+y. Portanto o versor \hat{n} calculado acima aponta para fora do condutor (sentido de x+y crescendo). Isso vai nos permitir decidir o sinal da densidade superficial.

Passo 3

Usar a condição de contorno para condutores: dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é zero. Imediatamente fora da superfície condutora, o campo elétrico é perpendicular (normal) à superfície. O componente normal do campo fora menos o componente normal dentro satisfaz a relação com a carga superficial livre.
Como dentro do condutor \vec{E}_{\text{dentro}}=0, o campo imediatamente fora é normal e tem módulo dado pelo enunciado. Assim, escolhemos o campo fora apontando para o exterior (versor \hat{n}). Então o vetor campo elétrico na superfície é
\vec{E}=|\vec{E}|\;\hat{n}.
Substituindo |\vec{E}|=0,35 e \hat{n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}), obtemos em forma vetorial:
\vec{E}=\frac{0,35}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}).
Vamos calcular os componentes numéricos (para usar depois):
\frac{0,35}{\sqrt{2}}\approx 0,35\div 1,41421356\approx 0,2475\;.
Portanto, explicitamente,
\vec{E}\approx 0,2475\,\hat{\imath}+0,2475\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}\quad\mathrm{(V/m)}.
Breve recapitulação da fórmula usada e por quê: escolhemos \vec{E} normal porque cargas livres numa superfície condutora produzem campo apenas normal imediatamente fora; o valor do módulo foi dado.

Passo 4

Determinar \vec{D}. No vácuo (ou ar, média não especificada) o vetor \vec{D} está relacionado com \vec{E} por
\vec{D}=\varepsilon_0 \vec{E},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui \varepsilon_0\approx 8,854\times 10^{-12}\;\mathrm{F/m}.
Substituindo \vec{E}=\dfrac{0,35}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}), temos
\vec{D}=\varepsilon_0\frac{0,35}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}).
Numéricamente, cada componente vale
D_x=D_y=\varepsilon_0\frac{0,35}{\sqrt{2}}\approx (8,854\times 10^{-12})\times 0,2475\approx 2,192\times 10^{-12}\;\mathrm{C/m^2}.
Logo
\vec{D}\approx 2,192\times 10^{-12}\,\hat{\imath}+2,192\times 10^{-12}\,\hat{\jmath}+0\,\hat{k}\quad\mathrm{(C/m^2)}.

Passo 5

Calcular a densidade de carga superficial \sigma.
Teorema / condição de contorno (explicação didática curta): pegue uma “caixinha” (pílula de Gauss) muito fina atravessando a superfície condutora. Aplicando a Lei de Gauss integral para \vec{D} na pílula, o fluxo de \vec{D} através da face externa menos o fluxo através da face interna (interna tem \vec{D}=0 porque \vec{E}=0 dentro) é igual à carga livre contida, que é \sigma vezes a área. Isso leva à relação local
\sigma = \hat{n}\cdot\bigl(\vec{D}_{\text{fora}}-\vec{D}_{\text{dentro}}\bigr)=\hat{n}\cdot\vec{D}_{\text{fora}}.
Como \vec{D}_{\text{fora}}=\varepsilon_0\vec{E} e \vec{E} é normal com componente |\vec{E}| ao longo de \hat{n}, simplifica para
\sigma=\varepsilon_0\,|\vec{E}|.
Substituindo valores:
\sigma=\varepsilon_0\times 0,35\approx (8,854\times 10^{-12})\times 0,35\approx 3,099\times 10^{-12}\;\mathrm{C/m^2}.
Sinal: como escolhemos \hat{n} apontando para fora e \vec{E} apontando na mesma direção, a densidade é positiva — isto é, há excesso de carga positiva na superfície que gera esse campo saindo da superfície.

Resposta

\displaystyle \vec{E}=\frac{0,35}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath})\;\mathrm{V/m}\approx 0,2475\,\hat{\imath}+0,2475\,\hat{\jmath}\;\mathrm{(V/m)} \n
\displaystyle \vec{D}=\varepsilon_0\frac{0,35}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath})\;\mathrm{C/m^2}\approx 2,192\times 10^{-12}\,\hat{\imath}+2,192\times 10^{-12}\,\hat{\jmath}\;\mathrm{(C/m^2)} \n
\displaystyle \sigma=\varepsilon_0\cdot 0,35\approx 3,099\times 10^{-12}\;\mathrm{C/m^2}

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