Um capacitor plano é formado por duas placas de área \mathrm{A}=0,02 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~A}, separadas por uma distância \mathrm{d}=2 \mathrm{~mm}, preenchidas com ar entre elas. Sabendo que a permissividade do vácuo é \varepsilon 0=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}, calcule a capacitância.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a capacitância de um capacitor de placas paralelas com os seguintes dados fornecidos:
A = 0,02\\ \mathrm{m}^2
d = 2\\ \mathrm{mm}
\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}
Pergunta: qual é a capacitância C desse capacitor?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
Capacitância é a razão entre carga armazenada Q e a diferença de potencial V:
C=\frac{Q}{V}.
Para um capacitor de placas paralelas, a densidade superficial de carga é
\sigma=\frac{Q}{A},
onde \sigma tem unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^2. O campo elétrico uniforme entre as placas (supondo ar/vácuo e bordas desprezíveis) vale
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
pois \varepsilon_0 relaciona campo elétrico e densidade de carga no vácuo (essa é uma consequência das leis de Gauss; se quiser, penso e explico Gauss em detalhe depois). A diferença de potencial entre as placas, com campo uniforme, é
V=E\,d.
Substituindo E obtemos
V=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,d=\frac{Q}{A}\cdot\frac{d}{\varepsilon_0}.
Agora usamos C=Q/V. Substituindo V na expressão de C:
C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{A}\cdot\dfrac{d}{\varepsilon_0}}=\frac{\varepsilon_0 A}{d}.
Portanto a fórmula prática para um capacitor plano de placas paralelas é
C=\frac{\varepsilon_0 A}{d},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (unidade \mathrm{F}/\mathrm{m}),
  • A é a área de uma placa (unidade \mathrm{m}^2),
  • d é a separação entre as placas (unidade \mathrm{m}),
    e o resultado C tem unidade de farad \mathrm{F}.

Passo 3

Verificação dimensional rápida (pra você não se assustar com unidades): as unidades dão
[\varepsilon_0]\cdot[A]/[d] = \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\cdot\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{m}}=\mathrm{F},
ou seja, o resultado tem unidade de capacitância corretamente.

Passo 4

Converter as grandezas para o mesmo sistema de unidades (SI). Em particular, converter d de milímetros para metros:
d = 2\\ \mathrm{mm} = 2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Substituir os valores na fórmula \displaystyle C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}.
Calcule a razão \dfrac{A}{d}:
\frac{A}{d}=\frac{0,02}{2\times 10^{-3}}.
Fazendo a conta passo a passo:
\frac{0,02}{2\times 10^{-3}}=\frac{2\times 10^{-2}}{2\times 10^{-3}}=10.
Agora calcule C:
C=\varepsilon_0\cdot\frac{A}{d}=(8,85\times 10^{-12})\cdot 10 = 8,85\times 10^{-11}\\ \mathrm{F}.

Passo 6

Expressões em unidades mais familiares: transformar para picofarads (1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}):
C = \frac{8,85\times 10^{-11}}{10^{-12}}\\ \mathrm{pF} = 88,5\\ \mathrm{pF}.
Também em nanofarads:
C = 0,0885\\ \mathrm{nF}.
Pronto — temos o valor numérico e vimos cada passo: dedução da fórmula, conversão de unidades, substituição e transformação para unidades fáceis de interpretar. Vai na fé: você conseguiu acompanhar e já sabe como resolver um problema desses na prova!

Resposta

C = 8,85\times 10^{-11}\\ \mathrm{F} = 88,5\\ \mathrm{pF}

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