No circuito retificador monofásico ideal, uma corrente elétrica constante \mathrm{CC} I_{\mathrm{d}}=10 \mathrm{~A}, calcule a potência elétrica média para a carga:
se v_{\mathrm{s}}(t) é uma tensão elétrica senoidal com V_{\mathrm{s}}=120 \mathrm{~V} em 60 Hz ;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
  • Corrente contínua na carga: \!I_{\mathrm{d}}=10\\ \mathrm{A}.
  • A tensão de fonte é senoidal com \!V_{\mathrm{s}}=120\\ \mathrm{V} e frequência 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Pergunta: calcular a potência elétrica média entregue à carga (potência média absorvida pela carga).
Observação importante: eu vou usar a interpretação padrão para um retificador monofásico ideal com carga de corrente contínua e corrente contínua contínua (ou seja, indutância que mantém I_{\mathrm{d}} praticamente constante). Nessa configuração ideal e sem controle (retificador de onda completa com diodos), a tensão média aplicada à carga é a média do valor absoluto da senoide da fonte. A frequência não afetará o valor médio resultante, só o período.

Passo 2

Explicar o conceito que vamos usar (aula rápida e direta): quando a carga puxa uma corrente contínua I_{\mathrm{d}} e o retificador é ideal de onda completa, a tensão média sobre a carga (tensão DC equivalente) é a média do valor absoluto da tensão senoidal da fonte. Para entender por que:
  • Potência média numa carga é \displaystyle P=\frac{1}{T}\int_0^T v(t)\,i(t)\,dt, onde T é o período.
  • Se i(t)=I_{\mathrm{d}} é constante, então \displaystyle P=I_{\mathrm{d}}\cdot\frac{1}{T}\int_0^T v(t)\,dt. No retificador de onda completa ideal, a tensão aplicada à carga é |v_{\mathrm{s}}(t)| (o retificador transforma a senoide em sua magnitude), então a média de interesse é a média de |v_{\mathrm{s}}(t)|.
  • Portanto a potência média será \displaystyle P = I_{\mathrm{d}}\cdot V_{\mathrm{dc}}, onde \displaystyle V_{\mathrm{dc} }=\frac{1}{T}\int_0^T |v_{\mathrm{s}}(t)|\,dt é a tensão média (DC) resultante do retificador.

Passo 3

Agora vamos calcular \displaystyle V_{\mathrm{dc}} passo a passo usando a forma senoidal da fonte. Escrevemos a fonte como \displaystyle v_{\mathrm{s}}(t)=V_{m}\sin(\omega t), em que:
  • \displaystyle V_{m} é a amplitude (valor de pico) da senoide,
  • \displaystyle \omega=2\pi f e f=60\\ \mathrm{Hz}.
Como foi dada \displaystyle V_{\mathrm{s}}=120\\ \mathrm{V} e isso é a tensão eficaz (rms) típica, relacionamos pico e rms por \displaystyle V_{m}=\sqrt{2}\,V_{\mathrm{s}}. Assim:
V_{m}=\sqrt{2}\,V_{\mathrm{s}}=\sqrt{2}\cdot 120\\ \mathrm{V}=120\sqrt{2}\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Calcular a média do valor absoluto da senoide (derivação integral):
V_{\mathrm{dc}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\big|V_{m}\sin(\omega t)\big|\,dt.
Troca de variável conveniente: como a senoide tem simetria, podemos integrar num semiperíodo e usar fator apropriado. Com \omega t=\theta e T=2\pi/\omega obtemos
V_{\mathrm{dc}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} V_{m}|\sin\theta|\,d\theta = \frac{V_{m}}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Porque |\sin\theta| é par no intervalo e duas vezes o integral de 0 a \pi dá o integral de 0 a 2\pi. Agora avaliamos o integral:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \big[-\cos\theta\big]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-( -1)=2.
Logo
V_{\mathrm{dc}}=\frac{V_{m}}{\pi}\cdot 2 = \frac{2V_{m}}{\pi}.

Passo 5

Substituir V_{m}=120\sqrt{2}\\ \mathrm{V} na fórmula:
V_{\mathrm{dc}}=\frac{2\cdot 120\sqrt{2}}{\pi}\\ \mathrm{V} = \frac{240\sqrt{2}}{\pi}\\ \mathrm{V}.
Calculemos numericamente:
240\sqrt{2}\approx 240\cdot 1{,}41421356 \approx 339{,}411\\ \mathrm{V},
V_{\mathrm{dc}}\approx \frac{339{,}411}{3{,}14159265}\\ \mathrm{V}\approx 108{,}0\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Agora usamos a relação potência média para corrente constante:
P = I_{\mathrm{d}}\cdot V_{\mathrm{dc}}.
Substituindo I_{\mathrm{d}}=10\\ \mathrm{A} e V_{\mathrm{dc}}\approx 108{,}0\\ \mathrm{V}:
P \approx 10\cdot 108{,}0\\ \mathrm{W}=1080\\ \mathrm{W}.

Resposta

1080\\ \mathrm{W}

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