Um capilar está semipreenchido com
de etanol. Assume-se que o ar seco contido no interior do capilar esteja estagnado a 750 mmHg e
. Determine a altura de capilar sabendo que houve um desnível do líquido de
no final de 5 h .
Dados:
, pressão de vapor de
,
.
Dados:
Passo 1
O que o problema pede: determinar a altura do capilar (ou seja, o comprimento
do traço de ar pelo qual o vapor difunde até a boca do capilar) sabendo que, em
h, a coluna líquida de etanol recuou
.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com as unidades):
- altura inicial do líquido no capilar:
(informação dada, servirá só de contexto).
- queda do nível do líquido em
:
.
- pressão de vapor do etanol (à superfície):
.
- pressão total do ar (condição do problema):
(apenas contexto; assumiremos que na boca do capilar o vapor é removido e a concentração lá é desprezível).
- temperatura:
.
- difusividade do etanol no ar:
.
- massa molar do etanol:
.
- densidade do etanol:
.
O que sabemos que precisamos relacionar: a perda de altura do líquido (velocidade média
) com o fluxo de vapor por difusão através de um comprimento
.
Passo 2
Modelo físico e hipótese escolhida (por que usar esse modelo):
- O gás acima do líquido está estagnado, então o transporte de etanol do nível do líquido até a boca do capilar é por difusão molecular.
- Vamos assumir regime estacionário de difusão (perfil de concentração aproximadamente linear ao longo do capilar depois do transiente inicial), o que é razoável aqui porque a perda é lenta e o capilar é curto; com essa hipótese podemos usar a lei de Fick no regime estacionário para obter um fluxo constante médio.
- Assumimos que na boca do capilar a concentração de etanol é praticamente zero (o vapor que sai é removido pelo ar ambiente), então a diferença de concentração é entre a superfície saturada e praticamente zero na boca.
Resumo do método: usar a lei de Fick para obter o fluxo molar
, relacionar esse fluxo à velocidade de queda do nível
(cancelando a área da seção), e isolar
.
Passo 3
Lei de Fick (forma aplicada e definição de variáveis):
A lei de Fick para difusão unidimensional, no regime estacionário, diz que o fluxo molar de é proporcional ao gradiente de concentração:
A lei de Fick para difusão unidimensional, no regime estacionário, diz que o fluxo molar de
Se a concentração varia linearmente entre a superfície (
) e a boca do capilar (
), integra-se e obtém-se:
onde
é o fluxo molar de
por unidade de área (
),
é a difusividade (
),
é a concentração molar do vapor à superfície do líquido (
) e
é a concentração na boca do capilar. Assumiremos
.
Passo 4
Concentração do vapor na superfície pela equação dos gases ideais:
A concentração molar do vapor saturado na superfície é
A concentração molar do vapor saturado na superfície é
onde
é a constante universal dos gases,
é a temperatura em K e
deve ser em Pa. Vamos converter
de
para
:
Agora a concentração:
Passo 5
Relacionar o fluxo molar à velocidade de queda do nível do líquido (geometria cancela):
Se é a área da seção do capilar, o número de mols que sai por segundo é
. A massa que sai por segundo é
(com
em kg/mol), e a taxa de variação volumétrica é
. Como a coluna cai com velocidade
, temos
. Portanto:
Se
Cancelando
:
Substituindo
pela expressão de Fick com
:
Isolando
:
Aqui
deve estar em
,
em
,
em
,
em
e
em
.
Passo 6
Converter todos os dados para unidades SI e calcular
:
-
. -
. -
(já em SI). - Queda
em . Então velocidade média:
-
(calculado no Passo 4).
Agora aplicamos a fórmula:
Vamos calcular passo a passo (aproximações controladas):
Convertendo para centímetros:
Interpretação física: esse
é o comprimento do trecho de ar pelo qual o vapor difunde até a boca do capilar. Ou seja, para que a coluna de etanol caia
em
sob as hipóteses feitas, o comprimento do canal de difusão (altura do capilar acima do nível) deve ser cerca de
.