Um capilar está semipreenchido com 2,5 \mathrm{~cm} de etanol. Assume-se que o ar seco contido no interior do capilar esteja estagnado a 750 mmHg e 25^{\circ} \mathrm{C}. Determine a altura de capilar sabendo que houve um desnível do líquido de 0,5 \mathrm{~cm} no final de 5 h .
Dados: \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,1338 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}, pressão de vapor de \mathrm{A}-p_{A}^{v}=159,36 \mathrm{mmHg}, \mathrm{M}_{\text {etanol }}=46,065 \mathrm{~g} / \mathrm{gmol}, \rho_{\text {etanol }}=789 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a altura do capilar (ou seja, o comprimento L do traço de ar pelo qual o vapor difunde até a boca do capilar) sabendo que, em 5 h, a coluna líquida de etanol recuou 0,5\\ \mathrm{cm}.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente, com as unidades):
\; - altura inicial do líquido no capilar: 2{,}5\\ \mathrm{cm} (informação dada, servirá só de contexto).
\; - queda do nível do líquido em t=5\\ \mathrm{h}: \Delta h = 0{,}5\\ \mathrm{cm}.
\; - pressão de vapor do etanol (à superfície): p_A^v = 159{,}36\\ \mathrm{mmHg}.
\; - pressão total do ar (condição do problema): 750\\ \mathrm{mmHg} (apenas contexto; assumiremos que na boca do capilar o vapor é removido e a concentração lá é desprezível).
\; - temperatura: 25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
\; - difusividade do etanol no ar: D_{AB}=0{,}1338\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
\; - massa molar do etanol: M=46{,}065\\ \mathrm{g/mol}.
\; - densidade do etanol: \rho=789\\ \mathrm{kg/m^3}.
O que sabemos que precisamos relacionar: a perda de altura do líquido (velocidade média |dh/dt|) com o fluxo de vapor por difusão através de um comprimento L.

Passo 2

Modelo físico e hipótese escolhida (por que usar esse modelo):
  • O gás acima do líquido está estagnado, então o transporte de etanol do nível do líquido até a boca do capilar é por difusão molecular.
  • Vamos assumir regime estacionário de difusão (perfil de concentração aproximadamente linear ao longo do capilar depois do transiente inicial), o que é razoável aqui porque a perda é lenta e o capilar é curto; com essa hipótese podemos usar a lei de Fick no regime estacionário para obter um fluxo constante médio.
  • Assumimos que na boca do capilar a concentração de etanol é praticamente zero (o vapor que sai é removido pelo ar ambiente), então a diferença de concentração é entre a superfície saturada e praticamente zero na boca.
Resumo do método: usar a lei de Fick para obter o fluxo molar N_A, relacionar esse fluxo à velocidade de queda do nível dh/dt (cancelando a área da seção), e isolar L.

Passo 3

Lei de Fick (forma aplicada e definição de variáveis):
A lei de Fick para difusão unidimensional, no regime estacionário, diz que o fluxo molar de A é proporcional ao gradiente de concentração:
N_A = -D_{AB}\frac{dC_A}{dz}.
Se a concentração varia linearmente entre a superfície ( z=0) e a boca do capilar ( z=L), integra-se e obtém-se:
N_A = D_{AB}\,\frac{C_{A,s}-C_{A,0}}{L},
onde N_A é o fluxo molar de A por unidade de área ( \mathrm{mol/(m^2\;s)}), D_{AB} é a difusividade ( \mathrm{m^2/s}), C_{A,s} é a concentração molar do vapor à superfície do líquido ( \mathrm{mol/m^3}) e C_{A,0} é a concentração na boca do capilar. Assumiremos C_{A,0}\approx 0.

Passo 4

Concentração do vapor na superfície pela equação dos gases ideais:
A concentração molar do vapor saturado na superfície é
C_{A,s}=\frac{p_A^v}{R_u T},
onde R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\;K)} é a constante universal dos gases, T é a temperatura em K e p_A^v deve ser em Pa. Vamos converter p_A^v de \mathrm{mmHg} para \mathrm{Pa}:
p_A^v = 159{,}36\\ \mathrm{mmHg}\times 133{,}322\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{mmHg}} =21246{,}19\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{arredondando}).
Agora a concentração:
C_{A,s}=\frac{21246{,}19}{8{,}314462618\times 298{,}15} \approx 8{,}57\\ \mathrm{mol/m^3}.

Passo 5

Relacionar o fluxo molar à velocidade de queda do nível do líquido (geometria cancela):
Se A_c é a área da seção do capilar, o número de mols que sai por segundo é \dot{n}=N_A A_c. A massa que sai por segundo é \dot{m}=M\dot{n} (com M em kg/mol), e a taxa de variação volumétrica é \dot{V}=\dot{m}/\rho. Como a coluna cai com velocidade dh/dt, temos \dot{V}=-A_c\, dh/dt. Portanto:
- A_c\frac{dh}{dt}=\frac{M\,N_A A_c}{\rho}.
Cancelando A_c:
-\frac{dh}{dt}=\frac{M}{\rho}\,N_A.
Substituindo N_A pela expressão de Fick com C_{A,0}\approx 0:
-\frac{dh}{dt}=\frac{M}{\rho}\,D_{AB}\frac{C_{A,s}}{L}.
Isolando L:
L=\frac{M\,D_{AB}\,C_{A,s}}{\rho\,\left|dh/dt\right|}.
Aqui M deve estar em \mathrm{kg/mol}, D_{AB} em \mathrm{m^2/s}, \rho em \mathrm{kg/m^3}, C_{A,s} em \mathrm{mol/m^3} e |dh/dt| em \mathrm{m/s}.

Passo 6

Converter todos os dados para unidades SI e calcular |dh/dt|:
  • D_{AB}=0{,}1338\\ \mathrm{cm^2/s}=0{,}1338\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}=1{,}338\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • M=46{,}065\\ \mathrm{g/mol}=0{,}046065\\ \mathrm{kg/mol}.
  • \rho=789\\ \mathrm{kg/m^3} (já em SI).
  • Queda \Delta h=0{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}005\\ \mathrm{m} em t=5\\ \mathrm{h}=5\times 3600\\ \mathrm{s}=18000\\ \mathrm{s}. Então velocidade média:
\left|dh/dt\right|=\frac{0{,}005}{18000}=2{,}777\overline{7}\times 10^{-7}\\ \mathrm{m/s}.
  • C_{A,s}\approx 8{,}57\\ \mathrm{mol/m^3} (calculado no Passo 4).
Agora aplicamos a fórmula:
L=\frac{M\,D_{AB}\,C_{A,s}}{\rho\,\left|dh/dt\right|} =\frac{0{,}046065\times 1{,}338\times 10^{-5}\times 8{,}57}{789\times 2{,}7777778\times 10^{-7}}.
Vamos calcular passo a passo (aproximações controladas):
\text{numerador}=0{,}046065\times 1{,}338\times 10^{-5}\times 8{,}57 \approx 6{,}69\times 10^{-9}\\ (\mathrm{SI}).
\text{denominador}=789\times 2{,}7777778\times 10^{-7} \approx 2{,}189\times 10^{-4}.
L\approx \frac{6{,}69\times 10^{-9}}{2{,}189\times 10^{-4}} \approx 2{,}41\times 10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
L\approx 2{,}41\\ \mathrm{cm}.
Interpretação física: esse L é o comprimento do trecho de ar pelo qual o vapor difunde até a boca do capilar. Ou seja, para que a coluna de etanol caia 0{,}5\\ \mathrm{cm} em 5\\ \mathrm{h} sob as hipóteses feitas, o comprimento do canal de difusão (altura do capilar acima do nível) deve ser cerca de 2{,}41\\ \mathrm{cm}.

Resposta

L=2{,}41\\ \mathrm{cm}

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