Partindo da equação da continuidade em bases molares, para um componente
em um sistema binário
, responda:
a) Abra a equação e escreva o significado físico de cada termo.
b) Explique os passos para desenvolver as soluções finais para os casos:
- Difusão molecular unidimensional em regime permanente sem reação;
- Difusão pseudo-estacionária (explique o que é pseudo-estacionário) em regime permanente sem reação;
- Caso de contradifusão equimolar.
b) Explique os passos para desenvolver as soluções finais para os casos:
Passo 1
O enunciado dá a equação da continuidade em base molar para o componente
num sistema binário
:
Pede:
a) “Abrir” a equação e explicar fisicamente cada termo.
b) Explicar os passos para desenvolver as soluções finais nos três casos:
a) “Abrir” a equação e explicar fisicamente cada termo.
b) Explicar os passos para desenvolver as soluções finais nos três casos:
- Difusão molecular unidimensional em regime permanente sem reação;
- Difusão pseudo-estacionária (explicar o que é) em regime permanente sem reação;
- Caso de contradifusão equimolar.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: é um sistema binário (sóe ), há a forma geral da continuidade (com termo volumétrico de taxa de produção/consumo ). Não foram dadas geometrias ou condições de contorno numéricas — vamos trabalhar de forma genérica e indicar as condições de contorno que você deve impor na prova.
Passo 2
Interpretando e definindo cada termo da equação, com unidades e sentido físico:
-
: taxa de acumulação volumétrica de . Aqui é a concentração molar de (unidade típica ). Esse termo mede quanto a concentração de em um elemento de volume muda com o tempo ( ). Se for zero, não há acumulação local (regime permanente). -
: divergência do fluxo molar de (unidade também). A divergência positiva significa que mais está saindo do volume do que entrando (reduz ). Em palavras: variação espacial do fluxo — representa o balanço de entrada/saída por difusão/convecção. -
: fluxo molar total de (unidade ). Pode ser decomposto em parte convectiva (por velocidade do fluido) e parte difusiva relativa:
onde
é a velocidade do fluido (m/s) e
é o fluxo difusivo relativo (por exemplo, dado pela lei de Fick).
-
: taxa volumétrica de produção (se positiva) ou consumo (se negativa) de por reações químicas, unidade . Para “sem reação” temos .
Comentário sobre a lei de Fick usada com frequência: para difusão molecular em mistura binária, e na ausência de convecção ou quando se usa o referencial em repouso do fluido, a forma mais simples da primeira lei de Fick é
onde
é o coeficiente de difusão molecular de
em
(
). Em muitos problemas de gases ideais à
e
constantes, é conveniente usar frações molares
com
e
= concentração total (constante).
Passo 3
Caso geral: passar da equação de continuidade para o caso unidimensional, regime permanente e sem reação. Fazer as hipóteses e reduzir a equação:
Hipóteses:
Hipóteses:
- Unidimensional: variação só em
, logo . - Regime permanente:
. - Sem reação:
.
Substituindo na equação:
Logo
Interpretação física: em regime permanente sem geração/consumo volumétrico, o fluxo molar total de
é constante ao longo da direção
.
Passo 4
Resolver a equação usando a lei de Fick (caso sem convecção ou referencial estacionário):
Se não há velocidade média do fluido ( ), então
e pela primeira lei de Fick em 1D
Se não há velocidade média do fluido (
Como
é constante, integramos:
Aplicando condições de contorno típicas:
e
, obtemos a solução explícita para o perfil:
ou seja,
é linear entre as concentrações nas superfícies. O fluxo resultante é
Observações importantes para a prova: sempre checar se há convecção; se houver velocidade média não nula, você deve decompor
e a equação para
muda.
Passo 5
Explicar o que é pseudo-estacionário (pseudo-estacionário) e aplicar ao caso pedido.
Definição e ideia física:
Definição e ideia física:
- “Pseudo-estacionário” (ou quasi-estacionário) refere-se a uma aproximação em que a variação temporal local de
é muito pequena comparada às taxas de difusão ou aos termos espaciais, de modo que se pode desprezar mesmo que, globalmente, o sistema esteja evoluindo lentamente. Em outras palavras: o perfil de concentração atinge rapidamente uma forma que muda muito lentamente no tempo; localmente pode-se tratá-lo como estacionário. Esse conceito é muito usado quando há uma separação de escalas temporais (por ex. gradiente espacial ajusta-se em tempo curto , enquanto as condições de contorno mudam em tempo longo ).
Como aplicar e passos para solução:
- Escreva a equação completa:
(sem reação). - Em pseudo-estacionário despreze
localmente, reduzindo para (mesmo que no longo prazo venha a mudar). - Use a constituição do fluxo (
). Se não há velocidade média significativa no referencial escolhido, e usa-se Fick: . - Integre como em regime permanente (Passo 4) e aplique condições de contorno instantâneas (as quais podem depender lentamente do tempo).
Resultado prático: matematicamente a solução local é igual à do regime permanente, porém com a observação de validade: a aproximação só vale enquanto as condições de contorno mudam lentamente comparadas ao tempo de difusão. Em prova, justifique quantitativamente dizendo que a ordem de grandeza do erro ée que se então é aceitável desprezar .
Passo 6
Caso de contradifusão equimolar — hipóteses e dedução passo a passo.
Hipóteses:
Hipóteses:
- Sistema binário sem reação.
- Contradifusão equimolar significa que os fluxos molares de
e são iguais em magnitude e em sentidos opostos: . - Em contradifusão equimolar o fluxo total molar é zero:
- Assumir condição de gás ideal ou líquido incompressível de modo a ter concentração total
praticamente constante; então onde é a fração molar de .
Dedução usando Fick em termos de fração molar:
Para contradifusão equimolar (sem convecção líquida neta), uma forma prática é escrever a lei de Fick em termos de :
Para contradifusão equimolar (sem convecção líquida neta), uma forma prática é escrever a lei de Fick em termos de
onde
é a concentração total (constante). Como
é constante, integramos:
Ou seja, a fração molar varia linearmente entre
e
. O fluxo é
Convertendo para concentração de
:
.
Observações de prova: se não for constante (por variação de pressão ou temperatura), a expressão precisa ser modificada e a integral é
Observações de prova: se
e a integração exige conhecimento de
. Se houver fluxo total diferente de zero, o termo convectivo
deve ser incluído e a equação a resolver é
o que muda o perfil.
Passo 7
Resumo prático dos passos que você deve escrever na prova (roteiro curtinho e seguro):
- Escreva a equação da continuidade dada.
- Liste hipóteses claramente (1D, permanente ou pseudo-estacionário, com/sem reação, presença/ausência de velocidade média, total concentration constant?).
- Substitua hipóteses na equação para simplificá-la a uma ODE (por ex.
). - Escreva a relação constitutiva do fluxo (ex.:
ou ). - Integre a ODE e aplique condições de contorno (valores de
ou em e ). - Verifique unidades e limites físicos (por ex. se
constante, perfil linear; se não, indicar que a integral será feita numericamente ou analiticamente usando ). - Se usar aproximação pseudo-estacionária, comente a condição de validade (tempo de variação das BCs muito maior que
).
Resposta
a)
= taxa de acumulação local de
(
).
= divergência do fluxo molar de
(saldo espacial entrada/saída,
).
= fluxo molar total de
(
), que pode conter termo convectivo
e termo difusivo
.
= taxa volumétrica de produção/consumo por reação (
).\n
b1) Difusão molecular unidimensional, regime permanente, sem reação: hipóteses ,
, variação só em
(
constante). Se não há convecção e vale a lei de Fick
, integrar com
,
dá
b1) Difusão molecular unidimensional, regime permanente, sem reação: hipóteses
b2) Pseudo-estacionária: significa desprezar localmente
porque o perfil ajusta-se muito mais rápido que as mudanças nas condições de contorno (ou seja
). Procedimento: escrever a equação completa, aproximar
, reduzir para
e seguir os mesmos passos do item b1. Resultado localmente idêntico ao do regime permanente (perfil linear e fluxo dado acima), desde que a condição de validade da aproximação seja satisfeita.\n
b3) Contradifusão equimolar: hipóteses e fluxo total nulo
; para concentração total
constante usar fração molar
com
. Pela lei de Fick em termos de
:
b3) Contradifusão equimolar: hipóteses
Integrando com
e
obtém-se
e
.