Partindo da equação da continuidade em bases molares, para um componente A em um sistema binário A → B, responda:
a) Abra a equação e escreva o significado físico de cada termo.
b) Explique os passos para desenvolver as soluçōes finais para os casos:
- Difusão molecular unidimensional em regime permanente sem reaçäo:
- Difusão pseudo-estacionária (explique o que é pseudo-estacionário) em regime permanente sem reação;
- Caso de contradifusão equimolar.
b) Explique os passos para desenvolver as soluçōes finais para os casos:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da continuidade em bases molares para o componente
num sistema binário
:
Pede-se:
a) Abrir essa equação e escrever o significado físico de cada termo.
b) Explicar os passos para obter as soluções finais (ou as simplificações e fórmulas finais) em três casos específicos:
a) Abrir essa equação e escrever o significado físico de cada termo.
b) Explicar os passos para obter as soluções finais (ou as simplificações e fórmulas finais) em três casos específicos:
- Difusão molecular unidimensional em regime permanente sem reação;
- Difusão pseudo-estacionária (explicar o que é pseudo-estacionário) em regime permanente sem reação;
- Caso de contradifusão equimolar.
Informações relevantes e presumidas: usamos bases molares (concentração molarem ), é o fluxo molar de ( ), é taxa volumétrica de produção de ( ). Não há figura a interpretar.
Passo 2
Abrir a equação e identificar termo a termo. A equação é
Explique cada termo cuidadosamente:
-
: termo de acumulação local. Representa a variação temporal da concentração molar de em um ponto fixo do espaço. Unidade: . Se positiva, a concentração local aumenta com o tempo; se negativa, diminui. -
: divergência do fluxo molar de . Mede o fluxo líquido de saindo do volume diferencial por transporte (convecção + difusão). Em 1D vira . Unidade: . Se a divergência for positiva, mais sai do que entra (reduz concentração local). -
: termo fonte/consumo volumétrico. É a taxa volumétrica de produção líquida de por reações químicas (positivo se é produzido, negativo se consumido). Unidade: .
Passo 3
Separar o fluxo molar e explicar as contribuições (didático e útil na prova). Em bases molares a decomposição usual é:
onde:
-
é a velocidade do fluido de referência (molar ou massa média conforme escolha) em . O termo representa transporte convectivo (arraste). -
é o fluxo difusivo relativo (mol/m^2 s), resultado de gradientes de concentração, pressão, temperatura, etc. Na aproximação de difusão molecular simples em um binário e para condições isotérmicas e isobáricas usamos a Lei de Fick:
onde
é o coeficiente de difusão binário (
). Explique a Lei de Fick: o fluxo difusivo vai no sentido de diminuir o gradiente de concentração; a constante
quantifica a facilidade de mistura (maior
⇒ mais rápido difunde).
Passo 4
Caso geral 1D e regime permanente sem reação — montar as hipóteses e simplificar a equação. Hipóteses:
- Difusão unidimensional ao longo do eixo
. Então . - Regime permanente (steady state):
. - Sem reação:
. - Suponha que não há escoamento convectivo (meio estacionário) ou que se está usando o quadro onde
; logo . (Se houver escoamento, explicarei a diferença depois.)
Com essas hipóteses a equação fica
Integração imediata dá
Passo 5
Resolver usando a Lei de Fick e condições de contorno — obter perfil linear e expressão do fluxo. Se
e
constante, então
Reorganizando e integrando em
entre
e
com condições de contorno
e
:
Aplicando
:
Portanto o perfil de concentração é linear e o fluxo é dado por essa expressão (unidades
). Dica de prova: sempre mostre as condições de contorno e derive o sinal do fluxo (se
então
conforme convenção do sinal escolhido).
Passo 6
Caso 2 — explicar o que é pseudo-estacionário e aplicar ao problema sem reação. Definição e contexto:
- Pseudo-estacionário (ou quasi-steady-state) é a hipótese onde a variação temporal
é desprezível frente aos termos de transporte locais para a escala de tempo de interesse. Ou seja, embora o processo seja, estritamente, transiente, a região do problema atinge rapidamente um estado quase estacionário comparado à escala temporal de observação. É comum em problemas com camadas-limite difusivas que se estabelecem muito rápido.
Como consequência prática para resolver: aproximamose retomamos a equação do regime permanente. Assim, para o caso sem reação e em 1D a equação reduz novamente a
e seguimos exatamente os passos do Caso 1. Observação didática: a diferença entre “verdadeiro regime permanente” e “pseudo-estacionário” é física/temporal — a aplicação matemática é a mesma (colocar
). Em prova, diga quando a hipótese é válida: quando a escala de estabelecimento da distribuição espacial é muito menor que a escala de variação das condições externas.
Passo 7
Caso 3 — contradifusão equimolar: definição e simplificação da equação. Definição:
- Contradifusão equimolar significa que
e se difundem em sentidos opostos com fluxos molars de mesma magnitude e sentidos contrários; o fluxo molar total é nulo:
Consequência física: não há escoamento convectivo resultante do transporte difusivo (nenhum arraste macroscópico do fluido). Então a velocidade média
no enquadramento molar e
. Em regime permanente e sem reação temos
como antes, logo
é constante.
Passo 8
Expressar fluxos em termos de frações molares e concentração total quando apropriado. Em binários é comum reescrever a Lei de Fick usando fração molar
e concentração total
(onde
). Se pressão e temperatura são aproximadamente constantes,
é constante e:
Para contradifusão equimolar com fronteiras
e
a integração dá:
e o perfil de fração molar é linear:
Se preferir em termos de concentrações molares
e
Comentário prático: em contradifusão equimolar não há termo convectivo para incluir, então a aplicação de Fick direto é correta. Se
não for constante, precisa-se usar a forma generalizada envolvendo gradientes de fração molar e o fluxo total (mais avançado).
Passo 9
Resumo final das estratégias e dicas para a prova (curtas e úteis):
- Sempre escreva as hipóteses (1D/3D, steady/pseudo-steady, presença/ausência de convecção, reações).
- Coloque
se for steady ou pseudo-steady; justifique fisicamente quando usar pseudo-steady. - Separe
e verifique se (contradifusão equimolar ou meio estacionário). - Use Fick para
e integre com condições de contorno para obter perfil linear e expressão do fluxo. - Nos enunciados, identificar se pedem em termos de concentração
ou fração molar ; escolha a forma conveniente.
Resposta
a)
: acumulação local de
(
).
: divergência do fluxo molar de
, representa saída líquida por transporte (
).
: termo fonte/consumo volumétrico por reação (
).\n1) Regime permanente 1D sem reação (assumindo
e Fick):
constante e
. Perfil linear:
(ou
).\n2) Difusão pseudo-estacionária em regime permanente sem reação: pseudo-estacionário significa
porque a distribuição espacial se estabelece muito mais rápido do que a variação externa; matematicamente reduz-se ao mesmo caso de steady-state acima, levando às mesmas expressões lineares e ao mesmo
, desde que a hipótese seja válida.\n3) Contradifusão equimolar:
⇒
(sem fluxo total). Em 1D steady e para
constante usa-se
com
. Em concentrações molares equivalentes:
e
linear.