Partindo da equação da continuidade em bases molares, para um componente A em um sistema binário A → B, responda:
\frac{\partial C_{A}}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot \vec{N}_{A}=R_{A}
a) Abra a equação e escreva o significado físico de cada termo.
b) Explique os passos para desenvolver as soluçōes finais para os casos:
  1. Difusão molecular unidimensional em regime permanente sem reaçäo:
  2. Difusão pseudo-estacionária (explique o que é pseudo-estacionário) em regime permanente sem reação;
  3. Caso de contradifusão equimolar.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da continuidade em bases molares para o componente A num sistema binário A\rightleftharpoons B:
\frac{\partial C_{A}}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot\vec{N}_{A}=R_{A}.
Pede-se:
a) Abrir essa equação e escrever o significado físico de cada termo.
b) Explicar os passos para obter as soluções finais (ou as simplificações e fórmulas finais) em três casos específicos:
  1. Difusão molecular unidimensional em regime permanente sem reação;
  2. Difusão pseudo-estacionária (explicar o que é pseudo-estacionário) em regime permanente sem reação;
  3. Caso de contradifusão equimolar.
    Informações relevantes e presumidas: usamos bases molares (concentração molar C em \mathrm{mol\;m^{-3}}), \vec{N}_{A} é o fluxo molar de A ( \mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}), R_{A} é taxa volumétrica de produção de A ( \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}). Não há figura a interpretar.

Passo 2

Abrir a equação e identificar termo a termo. A equação é
\frac{\partial C_{A}}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot\vec{N}_{A}=R_{A}.
Explique cada termo cuidadosamente:
  • \displaystyle \frac{\partial C_{A}}{\partial t}: termo de acumulação local. Representa a variação temporal da concentração molar de A em um ponto fixo do espaço. Unidade: \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}. Se positiva, a concentração local aumenta com o tempo; se negativa, diminui.
  • \displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{N}_{A}: divergência do fluxo molar de A. Mede o fluxo líquido de A saindo do volume diferencial por transporte (convecção + difusão). Em 1D vira \dfrac{\partial N_{A,x}}{\partial x}. Unidade: \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}. Se a divergência for positiva, mais A sai do que entra (reduz concentração local).
  • \displaystyle R_{A}: termo fonte/consumo volumétrico. É a taxa volumétrica de produção líquida de A por reações químicas (positivo se A é produzido, negativo se consumido). Unidade: \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}.

Passo 3

Separar o fluxo molar e explicar as contribuições (didático e útil na prova). Em bases molares a decomposição usual é:
\vec{N}_{A}=C_{A}\vec{v}+\vec{J}_{A},
onde:
  • \vec{v} é a velocidade do fluido de referência (molar ou massa média conforme escolha) em \mathrm{m\;s^{-1}}. O termo C_{A}\vec{v} representa transporte convectivo (arraste).
  • \vec{J}_{A} é o fluxo difusivo relativo (mol/m^2 s), resultado de gradientes de concentração, pressão, temperatura, etc. Na aproximação de difusão molecular simples em um binário e para condições isotérmicas e isobáricas usamos a Lei de Fick:
\vec{J}_{A}=-D_{AB}\,\vec{\nabla}C_{A},
onde D_{AB} é o coeficiente de difusão binário ( \mathrm{m^{2}\;s^{-1}}). Explique a Lei de Fick: o fluxo difusivo vai no sentido de diminuir o gradiente de concentração; a constante D_{AB} quantifica a facilidade de mistura (maior D_{AB} ⇒ mais rápido difunde).

Passo 4

Caso geral 1D e regime permanente sem reação — montar as hipóteses e simplificar a equação. Hipóteses:
  • Difusão unidimensional ao longo do eixo x. Então \vec{\nabla}\cdot\vec{N}_{A}=\dfrac{\partial N_{A}}{\partial x}.
  • Regime permanente (steady state): \dfrac{\partial C_{A}}{\partial t}=0.
  • Sem reação: R_{A}=0.
  • Suponha que não há escoamento convectivo (meio estacionário) ou que se está usando o quadro onde \vec{v}=0; logo \vec{N}_{A}=\vec{J}_{A}. (Se houver escoamento, explicarei a diferença depois.)
    Com essas hipóteses a equação fica
\frac{dN_{A}}{dx}=0.
Integração imediata dá
N_{A}=\text{constante} \quad(\text{independente de }x).

Passo 5

Resolver usando a Lei de Fick e condições de contorno — obter perfil linear e expressão do fluxo. Se \vec{J}_{A}=-D_{AB}\dfrac{dC_{A}}{dx} e N_{A}=J_{A}= constante, então
-D_{AB}\frac{dC_{A}}{dx}=N_{A}.
Reorganizando e integrando em x entre x=0 e x=L com condições de contorno C_{A}(0)=C_{A1} e C_{A}(L)=C_{A2}:
\frac{dC_{A}}{dx}=-\frac{N_{A}}{D_{AB}}\quad\Rightarrow\quad C_{A}(x)=C_{A1}-\frac{N_{A}}{D_{AB}}x.
Aplicando x=L:
C_{A2}=C_{A1}-\frac{N_{A}}{D_{AB}}L \quad\Rightarrow\quad N_{A}=-D_{AB}\frac{C_{A2}-C_{A1}}{L}.
Portanto o perfil de concentração é linear e o fluxo é dado por essa expressão (unidades \mathrm{mol\;m^{-2}\;s^{-1}}). Dica de prova: sempre mostre as condições de contorno e derive o sinal do fluxo (se C_{A1}>C_{A2} então N_{A}>0 conforme convenção do sinal escolhido).

Passo 6

Caso 2 — explicar o que é pseudo-estacionário e aplicar ao problema sem reação. Definição e contexto:
  • Pseudo-estacionário (ou quasi-steady-state) é a hipótese onde a variação temporal \dfrac{\partial C_{A}}{\partial t} é desprezível frente aos termos de transporte locais para a escala de tempo de interesse. Ou seja, embora o processo seja, estritamente, transiente, a região do problema atinge rapidamente um estado quase estacionário comparado à escala temporal de observação. É comum em problemas com camadas-limite difusivas que se estabelecem muito rápido.
    Como consequência prática para resolver: aproximamos \dfrac{\partial C_{A}}{\partial t}\approx 0 e retomamos a equação do regime permanente. Assim, para o caso sem reação e em 1D a equação reduz novamente a
\frac{dN_{A}}{dx}=0,
e seguimos exatamente os passos do Caso 1. Observação didática: a diferença entre “verdadeiro regime permanente” e “pseudo-estacionário” é física/temporal — a aplicação matemática é a mesma (colocar \partial C_{A}/\partial t=0). Em prova, diga quando a hipótese é válida: quando a escala de estabelecimento da distribuição espacial é muito menor que a escala de variação das condições externas.

Passo 7

Caso 3 — contradifusão equimolar: definição e simplificação da equação. Definição:
  • Contradifusão equimolar significa que A e B se difundem em sentidos opostos com fluxos molars de mesma magnitude e sentidos contrários; o fluxo molar total é nulo:
\vec{N}_{A}+\vec{N}_{B}=\vec{0}\quad\Rightarrow\quad \vec{N}_{\text{total}}=\vec{0}.
Consequência física: não há escoamento convectivo resultante do transporte difusivo (nenhum arraste macroscópico do fluido). Então a velocidade média \vec{v}=0 no enquadramento molar e \vec{N}_{A}=\vec{J}_{A}. Em regime permanente e sem reação temos \dfrac{dN_{A}}{dx}=0 como antes, logo N_{A} é constante.

Passo 8

Expressar fluxos em termos de frações molares e concentração total quando apropriado. Em binários é comum reescrever a Lei de Fick usando fração molar y_{A} e concentração total C_{T} (onde C_{A}=C_{T}y_{A}). Se pressão e temperatura são aproximadamente constantes, C_{T} é constante e:
J_{A}=-D_{AB}\frac{dC_{A}}{dx}=-D_{AB}C_{T}\frac{dy_{A}}{dx}.
Para contradifusão equimolar com fronteiras y_{A}(0)=y_{A1} e y_{A}(L)=y_{A2} a integração dá:
N_{A}= -D_{AB}C_{T}\frac{y_{A2}-y_{A1}}{L},
e o perfil de fração molar é linear:
y_{A}(x)=y_{A1}+\frac{y_{A2}-y_{A1}}{L}\,x.
Se preferir em termos de concentrações molares \,C_{A}(x)=C_{A1}+\dfrac{C_{A2}-C_{A1}}{L}x e
N_{A}=-D_{AB}\frac{C_{A2}-C_{A1}}{L}.
Comentário prático: em contradifusão equimolar não há termo convectivo para incluir, então a aplicação de Fick direto é correta. Se C_{T} não for constante, precisa-se usar a forma generalizada envolvendo gradientes de fração molar e o fluxo total (mais avançado).

Passo 9

Resumo final das estratégias e dicas para a prova (curtas e úteis):
  • Sempre escreva as hipóteses (1D/3D, steady/pseudo-steady, presença/ausência de convecção, reações).
  • Coloque \partial C_{A}/\partial t=0 se for steady ou pseudo-steady; justifique fisicamente quando usar pseudo-steady.
  • Separe \vec{N}_{A}=C_{A}\vec{v}+\vec{J}_{A} e verifique se \vec{v}=0 (contradifusão equimolar ou meio estacionário).
  • Use Fick para \vec{J}_{A} e integre com condições de contorno para obter perfil linear e expressão do fluxo.
  • Nos enunciados, identificar se pedem em termos de concentração C_{A} ou fração molar y_{A}; escolha a forma conveniente.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial C_{A}}{\partial t}: acumulação local de A ( \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}). \displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{N}_{A}: divergência do fluxo molar de A, representa saída líquida por transporte ( \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}). \displaystyle R_{A}: termo fonte/consumo volumétrico por reação ( \mathrm{mol\;m^{-3}\;s^{-1}}).\n1) Regime permanente 1D sem reação (assumindo \vec{v}=0 e Fick): \dfrac{dN_{A}}{dx}=0\Rightarrow N_{A}= constante e \;N_{A}=-D_{AB}\dfrac{C_{A2}-C_{A1}}{L}. Perfil linear: C_{A}(x)=C_{A1}-\dfrac{N_{A}}{D_{AB}}x (ou C_{A}(x)=C_{A1}+\dfrac{C_{A2}-C_{A1}}{L}x).\n2) Difusão pseudo-estacionária em regime permanente sem reação: pseudo-estacionário significa \partial C_{A}/\partial t\approx0 porque a distribuição espacial se estabelece muito mais rápido do que a variação externa; matematicamente reduz-se ao mesmo caso de steady-state acima, levando às mesmas expressões lineares e ao mesmo N_{A}=-D_{AB}(C_{A2}-C_{A1})/L, desde que a hipótese seja válida.\n3) Contradifusão equimolar: \vec{N}_{A}+\vec{N}_{B}=0 \vec{v}=0 (sem fluxo total). Em 1D steady e para C_{T} constante usa-se N_{A}=-D_{AB}C_{T}\dfrac{y_{A2}-y_{A1}}{L} com y_{A}(x)=y_{A1}+\dfrac{y_{A2}-y_{A1}}{L}x. Em concentrações molares equivalentes: N_{A}=-D_{AB}\dfrac{C_{A2}-C_{A1}}{L} e C_{A}(x) linear.

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