Os capitais de
7.000,00, \mathrm{R} $6.000,00, \mathrm{R} $ 3.000,00
\mathrm{R} $4.000,00
6 %, 3 %, 4 %
2 %$ ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá quatro capitais aplicados no mesmo prazo, em juros simples, com taxas mensais diferentes, e pede a “taxa média proporcional anual” dessas aplicações. Pergunta: qual é a taxa anual proporcional que representa, em média, as aplicações dadas?\n
Dados fornecidos (pega-se diretamente do enunciado):\n
Dados fornecidos (pega-se diretamente do enunciado):\n
- Capital
com taxa mensal .\n - Capital
com taxa mensal .\n - Capital
com taxa mensal .\n - Capital
com taxa mensal .\n
Observação importante do enunciado: todos os capitais são aplicados “no mesmo prazo” e no “regime de juros simples”. Essas duas informações serão usadas para justificar o procedimento de média que vamos usar. Não há outras perguntas no enunciado além de escolher a taxa média anual proporcional.
Passo 2
Entendendo por que podemos usar média ponderada: numa aplicação a juros simples, o juro ganho em um capital
durante um tempo fixo
(em meses) é proporcional ao produto
, onde
é a taxa do período (aqui mensal). Vou explicar a fórmula e o que cada coisa significa:\n
-
é o capital (quanto se aplicou), em reais.\n -
é a taxa por período (aqui, taxa por mês), expressa em forma decimal ou percentual.\n -
é o número de períodos (meses) da aplicação.\n
Comoé o mesmo para todas as aplicações (informação do enunciado), o termo é comum e não altera a comparação entre as aplicações. Logo, o total de juros produzidos pelas quatro aplicações é proporcional a\n
Se quisermos uma única taxa mensal média
que, aplicada ao capital total
durante o mesmo
, produza o mesmo juro total, devemos ter\n
Cancelando
dos dois lados (porque é comum e não nulo), obtemos a fórmula da média ponderada:\n
Isso significa: a taxa média mensal é a média das taxas ponderada pelos capitais (capitais maiores têm mais peso). Vou aplicar essa fórmula.
Passo 3
Calcular o capital total:\n
Substituindo os valores dados (tudo em reais):\n
Agora faço a soma passo a passo:
.\n
.
.\n
Portanto:\n
Portanto:\n
Passo 4
Calcular o numerador da média ponderada, ou seja
. Vou trabalhar com as taxas em porcentagem por mês, sabendo que o resultado também ficará em percentual por mês quando dividirmos por
.\n
Calcule cada termo (usando a taxa em
e o capital em reais, o resultado será “reais·porcentagem”, mas ao dividir por
teremos porcentagem):\n
Calcule cada termo
Somando esses valores:\n
Passo 5
Agora calculo a taxa média mensal usando a fórmula da média ponderada:\n
Efetuando a divisão:\n
Interpretação: a taxa média proporcional por mês, ponderada pelos capitais, é
ao mês.
Passo 6
Converter a taxa média mensal para taxa média proporcional anual: quando o enunciado pede “taxa média proporcional anual” em regime proporcional (juros simples), a taxa anual proporcional é obtida multiplicando a taxa mensal por
(12 meses por ano). Isso decorre do fato de que em juros simples as taxas proporcionais se somam ao escalonar o período: uma taxa mensal
corresponde a taxa anual proporcional
.\n
Portanto:\n
Portanto:\n
Passo 7
Verificação rápida com as alternativas: entre as opções fornecidas
, a que coincide com o cálculo é a alternativa
. Mantemos atenção para não confundir taxa mensal com anual — já calculamos a mensal (
) e transformamos corretamente para anual proporcional (
).
Resposta
(e)