Os capitais de \mathrm{R} \ 7.000,00, \mathrm{R} $6.000,00, \mathrm{R} $ 3.000,00 e\mathrm{R} $4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas deãà6 %, 3 %, 4 % e2 %$ ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais.
(a) 4 \%
(b) 8 \%
(c) 12 \%
(d) 24 \%
(e) 48 \%

Passo 1

O enunciado dá quatro capitais aplicados no mesmo prazo, em juros simples, com taxas mensais diferentes, e pede a “taxa média proporcional anual” dessas aplicações. Pergunta: qual é a taxa anual proporcional que representa, em média, as aplicações dadas?\n
Dados fornecidos (pega-se diretamente do enunciado):\n
  • Capital C_1 = \mathrm{R}\$\,7\,000 com taxa mensal r_1 = 6\%.\n
  • Capital C_2 = \mathrm{R}\$\,6\,000 com taxa mensal r_2 = 3\%.\n
  • Capital C_3 = \mathrm{R}\$\,3\,000 com taxa mensal r_3 = 4\%.\n
  • Capital C_4 = \mathrm{R}\$\,4\,000 com taxa mensal r_4 = 2\%.\n
    Observação importante do enunciado: todos os capitais são aplicados “no mesmo prazo” e no “regime de juros simples”. Essas duas informações serão usadas para justificar o procedimento de média que vamos usar. Não há outras perguntas no enunciado além de escolher a taxa média anual proporcional.

Passo 2

Entendendo por que podemos usar média ponderada: numa aplicação a juros simples, o juro ganho em um capital C durante um tempo fixo t (em meses) é proporcional ao produto C\cdot r\cdot t, onde r é a taxa do período (aqui mensal). Vou explicar a fórmula e o que cada coisa significa:\n
\text{Juro} = C \cdot r \cdot t\n
  • C é o capital (quanto se aplicou), em reais.\n
  • r é a taxa por período (aqui, taxa por mês), expressa em forma decimal ou percentual.\n
  • t é o número de períodos (meses) da aplicação.\n
    Como t é o mesmo para todas as aplicações (informação do enunciado), o termo t é comum e não altera a comparação entre as aplicações. Logo, o total de juros produzidos pelas quatro aplicações é proporcional a\n
\sum_{i=1}^{4} C_i r_i.\n
Se quisermos uma única taxa mensal média \bar{r}_{\text{mensal}} que, aplicada ao capital total C_{\text{total}}=\sum C_i durante o mesmo t, produza o mesmo juro total, devemos ter\n
C_{\text{total}}\cdot \bar{r}_{\text{mensal}}\cdot t = \sum_{i=1}^{4} C_i r_i \cdot t.\n
Cancelando t dos dois lados (porque é comum e não nulo), obtemos a fórmula da média ponderada:\n
\bar{r}_{\text{mensal}}=\frac{\sum_{i=1}^{4} C_i r_i}{\sum_{i=1}^{4} C_i}.\n
Isso significa: a taxa média mensal é a média das taxas ponderada pelos capitais (capitais maiores têm mais peso). Vou aplicar essa fórmula.

Passo 3

Calcular o capital total:\n
C_{\text{total}} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4.\n
Substituindo os valores dados (tudo em reais):\n
C_{\text{total}} = \mathrm{R}\$\,7\,000 + \mathrm{R}\$\,6\,000 + \mathrm{R}\$\,3\,000 + \mathrm{R}\$\,4\,000.\n
Agora faço a soma passo a passo: \mathrm{R}\$\,7\,000 + \mathrm{R}\$\,6\,000 = \mathrm{R}\$\,13\,000.\n
\mathrm{R}\$\,13\,000 + \mathrm{R}\$\,3\,000 = \mathrm{R}\$\,16\,000. \mathrm{R}\$\,16\,000 + \mathrm{R}\$\,4\,000 = \mathrm{R}\$\,20\,000.\n
Portanto:\n
C_{\text{total}} = \mathrm{R}\$\,20\,000.

Passo 4

Calcular o numerador da média ponderada, ou seja \sum C_i r_i. Vou trabalhar com as taxas em porcentagem por mês, sabendo que o resultado também ficará em percentual por mês quando dividirmos por C_{\text{total}}.\n
Calcule cada termo C_i r_i (usando a taxa em \% e o capital em reais, o resultado será “reais·porcentagem”, mas ao dividir por C_{\text{total}} teremos porcentagem):\n
C_1 r_1 = 7\,000 \times 6 = 42\,000,\n
C_2 r_2 = 6\,000 \times 3 = 18\,000,\n
C_3 r_3 = 3\,000 \times 4 = 12\,000,\n
C_4 r_4 = 4\,000 \times 2 = 8\,000.\n
Somando esses valores:\n
\sum_{i=1}^{4} C_i r_i = 42\,000 + 18\,000 + 12\,000 + 8\,000 = 80\,000.

Passo 5

Agora calculo a taxa média mensal usando a fórmula da média ponderada:\n
\bar{r}_{\text{mensal}}=\frac{\sum_{i=1}^{4} C_i r_i}{C_{\text{total}}} = \frac{80\,000}{20\,000}.\n
Efetuando a divisão:\n
\bar{r}_{\text{mensal}} = 4\%.\n
Interpretação: a taxa média proporcional por mês, ponderada pelos capitais, é \,4\% ao mês.

Passo 6

Converter a taxa média mensal para taxa média proporcional anual: quando o enunciado pede “taxa média proporcional anual” em regime proporcional (juros simples), a taxa anual proporcional é obtida multiplicando a taxa mensal por 12 (12 meses por ano). Isso decorre do fato de que em juros simples as taxas proporcionais se somam ao escalonar o período: uma taxa mensal r corresponde a taxa anual proporcional 12r.\n
Portanto:\n
\bar{r}_{\text{anual}} = 12 \times \bar{r}_{\text{mensal}} = 12 \times 4\% = 48\%.

Passo 7

Verificação rápida com as alternativas: entre as opções fornecidas (a)\,4\%, (b)\,8\%, \text{(c)}\,12\%, (d)\,24\%, (e)\,48\%, a que coincide com o cálculo é a alternativa (e)\,48\%. Mantemos atenção para não confundir taxa mensal com anual — já calculamos a mensal ( 4\%) e transformamos corretamente para anual proporcional ( 48\%).

Resposta

(e) 48\%

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