Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de
a.a., vencível em 180 dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional (por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de
635,50
\mathrm{R} $$ :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor nominal da duplicata (ou seja, o valor de face do título) sabendo que foram aplicados dois descontos distintos e que a soma desses dois descontos foi de
. As informações dadas são:
- Taxa de juros:
ao ano. - Prazo até o vencimento:
dias. - No primeiro caso foi aplicado o desconto comercial (também chamado “por fora”).
- No segundo caso foi aplicado o desconto racional (também chamado “por dentro”).
- A soma dos descontos (comercial + racional) é
.
O que precisamos encontrar: o valor nominaldo título.
Passo 2
Definição e fórmula do desconto comercial (por fora). Vou explicar devagarinho: desconto comercial simples significa que o banco calcula o desconto diretamente sobre o valor nominal
, usando a fórmula simples de juros para o período. A fórmula é
onde:
-
é o desconto comercial, -
é o valor nominal do título (o que queremos), -
é a taxa de juros no mesmo período (expressa em decimal; aqui anual), -
é o tempo expresso em fração de ano (mesma base usada na taxa).
Essa fórmula vem da ideia de juros simples: juros = capitaltaxa tempo; no desconto comercial usamos essa expressão diretamente sobre .
Passo 3
Calcular
e
para este problema. A taxa anual é
, ou seja
O prazo é
dias. Em problemas bancários como este costuma-se usar o ano comercial de
dias, então
Logo o produto
Usando isso na fórmula do desconto comercial:
Passo 4
Definição e fórmula do desconto racional (por dentro). O desconto racional calcula quanto vale hoje (valor presente) um pagamento futuro
descontando juros simples; o desconto é a diferença entre o valor nominal
e o valor presente
. Para juros simples o valor presente é
portanto o desconto racional é
Simplificando:
Essa é a fórmula padrão do desconto racional simples: o desconto é uma fração do nominal onde a fração é
.
Passo 5
Aplicando os valores numéricos no desconto racional. Já calculamos
, então
Fazendo uma simplificação útil:
e
, então
Portanto
Passo 6
Montando a equação da soma dos descontos. A soma dada é
Substituindo as expressões em função de
:
Escrevendo
como
para somar frações:
Calculemos a soma das frações:
Logo
Passo 7
Resolver para
. Isolando
:
Agora uma conta prática:
(porque
). Então
Portanto o valor nominal do título é
.