Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10 \% a.a., vencível em 180 dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional (por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de \mathrm{R} \ 635,50 , o valor nominal do título era deí\mathrm{R} $$ :
(a) 6.510,00
(b) 6.430,00
(c) 6.590,00
(d) 5.970,00
(e) 6.240,00

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor nominal da duplicata (ou seja, o valor de face do título) sabendo que foram aplicados dois descontos distintos e que a soma desses dois descontos foi de \text{R\$ }635{,}50. As informações dadas são:
  • Taxa de juros: \;10\% ao ano.
  • Prazo até o vencimento: \;180 dias.
  • No primeiro caso foi aplicado o desconto comercial (também chamado “por fora”).
  • No segundo caso foi aplicado o desconto racional (também chamado “por dentro”).
  • A soma dos descontos (comercial + racional) é \text{R\$ }635{,}50.
    O que precisamos encontrar: o valor nominal N do título.

Passo 2

Definição e fórmula do desconto comercial (por fora). Vou explicar devagarinho: desconto comercial simples significa que o banco calcula o desconto diretamente sobre o valor nominal N, usando a fórmula simples de juros para o período. A fórmula é
D_{\text{com}} = N \cdot i \cdot t,
onde:
  • D_{\text{com}} é o desconto comercial,
  • N é o valor nominal do título (o que queremos),
  • i é a taxa de juros no mesmo período (expressa em decimal; aqui anual),
  • t é o tempo expresso em fração de ano (mesma base usada na taxa).
    Essa fórmula vem da ideia de juros simples: juros = capital \times taxa \times tempo; no desconto comercial usamos essa expressão diretamente sobre N.

Passo 3

Calcular i e t para este problema. A taxa anual é \;10\%, ou seja
i = 0{,}10.
O prazo é \;180 dias. Em problemas bancários como este costuma-se usar o ano comercial de 360 dias, então
t = \frac{180}{360} = \tfrac{1}{2}.
Logo o produto \;i\cdot t = 0{,}10 \times \tfrac{1}{2} = 0{,}05.
Usando isso na fórmula do desconto comercial:
D_{\text{com}} = N \cdot 0{,}05.

Passo 4

Definição e fórmula do desconto racional (por dentro). O desconto racional calcula quanto vale hoje (valor presente) um pagamento futuro N descontando juros simples; o desconto é a diferença entre o valor nominal N e o valor presente PV. Para juros simples o valor presente é
PV = \frac{N}{1 + i\cdot t},
portanto o desconto racional é
D_{\text{rat}} = N - PV = N - \frac{N}{1 + i\cdot t} = N\left(1 - \frac{1}{1 + i\cdot t}\right).
Simplificando:
D_{\text{rat}} = N\cdot\frac{i\cdot t}{1 + i\cdot t}.
Essa é a fórmula padrão do desconto racional simples: o desconto é uma fração do nominal onde a fração é \dfrac{i t}{1+i t}.

Passo 5

Aplicando os valores numéricos no desconto racional. Já calculamos i\cdot t = 0{,}05, então
D_{\text{rat}} = N\cdot\frac{0{,}05}{1 + 0{,}05} = N\cdot\frac{0{,}05}{1{,}05}.
Fazendo uma simplificação útil: 0{,}05 = \tfrac{1}{20} e 1{,}05 = \tfrac{21}{20}, então
\frac{0{,}05}{1{,}05} = \frac{1/20}{21/20} = \frac{1}{21}.
Portanto
D_{\text{rat}} = N\cdot\frac{1}{21}.

Passo 6

Montando a equação da soma dos descontos. A soma dada é
D_{\text{com}} + D_{\text{rat}} = 635{,}50.
Substituindo as expressões em função de N:
N\cdot 0{,}05 + N\cdot\frac{1}{21} = 635{,}50.
Escrevendo 0{,}05 como \tfrac{1}{20} para somar frações:
N\left(\frac{1}{20} + \frac{1}{21}\right) = 635{,}50.
Calculemos a soma das frações:
\frac{1}{20} + \frac{1}{21} = \frac{21 + 20}{420} = \frac{41}{420}.
Logo
N\cdot\frac{41}{420} = 635{,}50.

Passo 7

Resolver para N. Isolando N:
N = 635{,}50 \cdot \frac{420}{41}.
Agora uma conta prática: 635{,}50 \div 41 = 15{,}5 (porque 41\times 15{,}5 = 635{,}5). Então
N = 15{,}5 \times 420 = 15\times 420 + 0{,}5\times 420 = 6300 + 210 = 6510.
Portanto o valor nominal do título é \text{R\$ }6.510{,}00.

Resposta

\text{R\$ }6.510{,}00

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