O valor atual racional de um título é igual a de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 5 meses.
(a) 200 \% a.a.
(b) 20 \% a.m.
(c) 25 \% a.m.
(d) 28 \% a.m.
(e) 220 \% a.a.

Passo 1

O enunciado diz: “O valor atual racional de um título é igual a de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 5 meses.” Há uma omissão no texto (“igual a … de seu valor nominal”). Como não posso pedir esclarecimento, vou adotar a interpretação mais razoável que leva a uma das alternativas dadas: vou assumir que o enunciado quis dizer que o valor atual racional é igual à metade do valor nominal, isto é, que o valor presente corresponde a 50\% do valor nominal. Dados relevantes extraídos (com a suposição indicada):
  • Valor nominal (futuro) denotamos por \(F).
  • Valor atual racional (presente) \(P) satisfaz \(P=\tfrac{1}{2}F) (assunção).
  • O pagamento foi antecipado de 5 meses, logo o número de períodos é \(n=5) meses.
  • Precisamos achar a taxa de desconto por mês (opções incluem taxas mensais e anuais).

Passo 2

Explicação do conceito e da fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Em desconto racional (também chamado de desconto por dentro) a relação entre valor futuro \(F), valor presente \(P), taxa por período \(i) e número de períodos \(n) é
P=\frac{F}{1+i\,n}.
  • O que isso significa: o valor futuro \(F) é dividido por (1+i\,n) para trazer ao presente, porque estamos descontando de forma proporcional ao tempo com juros simples na base do valor presente. Aqui \(i) é a taxa por período (por exemplo, por mês) e \(n) é o número de períodos (número de meses).
  • Vou explicar as variáveis:
    • \(F): quantia a ser paga no futuro (valor nominal do título).
    • \(P): quantia que vale hoje (valor atual racional).
    • \(i): taxa de desconto por período (por mês, se usarmos meses).
    • \(n): número de períodos entre hoje e a data original do pagamento (aqui \(5) meses porque foi antecipado 5 meses).

Passo 3

Colocando os dados na fórmula segundo a suposição \(P=\tfrac{1}{2}F):
\frac{1}{2}F = \frac{F}{1+i\,n}.
  • Observação: podemos simplificar dividindo ambos os lados por \(F) (assumindo F\neq0), pois estamos interessados na taxa, não no valor absoluto.

Passo 4

Simplificando a equação:
\frac{1}{2} = \frac{1}{1+i\,n}.
Agora invertemos ambos os lados para eliminar a fração:
2 = 1 + i\,n.

Passo 5

Substituindo \(n=5) (5 meses) na equação:
2 = 1 + i\cdot 5.
Isolando \(i):
i\cdot 5 = 2-1 = 1,
i = \frac{1}{5} = 0{,}2.

Passo 6

Interpretando o resultado: \(i=0{,}2) significa 0{,}2 por mês, ou seja 20\% ao mês. Isso corresponde à alternativa (b). Vou comentar rapidamente por que as outras opções não se encaixam:
  • As alternativas que dão taxas anuais (por exemplo 200\% a.a. ou 220\% a.a.) exigiriam converter para mensal; mas o cálculo direto com n=5 meses nos deu 20\% ao mês, que corresponde a cerca de 20\%\times 12 = 240\% a.a. (se feita multiplicação direta sem capitalização), que não é nenhuma das alternativas anuais oferecidas. Portanto a opção consistente é a mensal 20\% a.m.

Resposta

(b) 20\%\\ \text{a.m.}

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