O valor atual racional de um título é igual a de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 5 meses.
(a)
a.a.
(b)
a.m.
(c)
a.m.
(d)
a.m.
(e)
a.a.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado diz: “O valor atual racional de um título é igual a de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 5 meses.” Há uma omissão no texto (“igual a … de seu valor nominal”). Como não posso pedir esclarecimento, vou adotar a interpretação mais razoável que leva a uma das alternativas dadas: vou assumir que o enunciado quis dizer que o valor atual racional é igual à metade do valor nominal, isto é, que o valor presente corresponde a
do valor nominal. Dados relevantes extraídos (com a suposição indicada):
- Valor nominal (futuro) denotamos por ).
- Valor atual racional (presente) ) satisfaz ) (assunção).
- O pagamento foi antecipado de 5 meses, logo o número de períodos é ) meses.
- Precisamos achar a taxa de desconto por mês (opções incluem taxas mensais e anuais).
Passo 2
Explicação do conceito e da fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- Em desconto racional (também chamado de desconto por dentro) a relação entre valor futuro ), valor presente ), taxa por período ) e número de períodos ) é
- O que isso significa: o valor futuro
) é dividido por
para trazer ao presente, porque estamos descontando de forma proporcional ao tempo com juros simples na base do valor presente. Aqui ) é a taxa por período (por exemplo, por mês) e ) é o número de períodos (número de meses). - Vou explicar as variáveis:
- ): quantia a ser paga no futuro (valor nominal do título).
- ): quantia que vale hoje (valor atual racional).
- ): taxa de desconto por período (por mês, se usarmos meses).
- ): número de períodos entre hoje e a data original do pagamento (aqui ) meses porque foi antecipado 5 meses).
Passo 3
Colocando os dados na fórmula segundo a suposição
):
- Observação: podemos simplificar dividindo ambos os lados por
) (assumindo
), pois estamos interessados na taxa, não no valor absoluto.
Passo 4
Simplificando a equação:
Agora invertemos ambos os lados para eliminar a fração:
Passo 5
Substituindo
) (5 meses) na equação:
Isolando
):
Passo 6
Interpretando o resultado:
) significa
por mês, ou seja
ao mês. Isso corresponde à alternativa (b). Vou comentar rapidamente por que as outras opções não se encaixam:
- As alternativas que dão taxas anuais (por exemplo
a.a. ou a.a.) exigiriam converter para mensal; mas o cálculo direto com meses nos deu ao mês, que corresponde a cerca de a.a. (se feita multiplicação direta sem capitalização), que não é nenhuma das alternativas anuais oferecidas. Portanto a opção consistente é a mensal a.m.
Resposta
(b)