Que capital, aplicado a juros compostos à taxa de 2 \% am, produz um montante de R$ 4.000,00 em um mês?
Escolha uma opção:
◯ a. \mathrm{C}=\mathrm{R} \ 2 \cdot 921,33$
◯ b. \mathrm{C}=\mathrm{R} \ 1.823,57$
◯ C. \mathrm{C}=\mathrm{R} \ 3.993,33$
◯ d. \mathrm{C}=\mathrm{R} \ 3.985,93$
◯ e. \mathrm{C}=\mathrm{R} \ 3.921,57$

Passo 1

O enunciado pergunta qual capital inicial C aplicado a juros compostos à taxa de 2\% ao mês produz um montante de \text{R\$ }4.000,00 após um mês. Dados que vamos usar:
  • Montante final: M=\text{R\$ }4.000,00.
  • Taxa de juros por período (mensal): i=2\%=0,02.
  • Número de períodos: n=1 mês.
    A pergunta é: qual é o valor de C (o capital inicial)?

Passo 2

Fórmula dos juros compostos e significado das variáveis. Para juros compostos, o montante M depois de n períodos é dado por
M = C\,(1+i)^{n},
onde:
  • M é o montante (valor final),
  • C é o capital inicial que queremos encontrar,
  • i é a taxa por período (em forma decimal),
  • n é o número de períodos.
    Essa fórmula vem da ideia de que a cada período o capital cresce multiplicando por (1+i); após n repetições temos potência. Para achar C isolamos na fórmula:
C=\frac{M}{(1+i)^{n}}.

Passo 3

Substituir os valores conhecidos na fórmula para obter C:
C=\frac{\text{R\$}4.000,00}{(1+0,02)^{1}}=\frac{\text{R\$ }4.000,00}{1,02}.

Passo 4

Calcular \dfrac{4.000,00}{1,02} sem pular etapas. Multiplicando numerador e denominador por 100 para eliminar a vírgula do denominador:
\frac{4.000,00}{1,02}=\frac{400.000}{102}.
Agora fazemos a divisão inteira 400.000\div102:
  • 102\times3.921=399.942.
  • Resto: 400.000-399.942=58.
    Então a parte inteira é 3.921 e resta 58 sobre 102, ou seja
\frac{400.000}{102}=3.921+\frac{58}{102}=3.921+0,568627\ldots
Portanto o valor exato é aproximadamente 3.921,568627\ldots. Arredondando para centavos (duas casas decimais) pelo critério usual (a terceira casa é 8, então sobe):
C\approx \text{R\$ }3.921,57.

Passo 5

Verificação rápida: multiplicando o capital encontrado por 1,02 deve retornar aproximadamente o montante:
\text{R\$}3.921,57\times1,02\approx\text{R\$ }4.000,00
(uma pequena diferença residual aparece só por causa do arredondamento).

Resposta

e. \text{R\$ }3.921,57

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