Um investidor aplicou \mathrm{R} \ 100,00 à taxa deà1 % am,\mathrm{R} $200,00 à taxa deà1,6 % am e\mathrm{R} $ 400,00 a4 %$ am, todas expressas a juros simples. Determine a taxa média de juros. Marque a alternativa que represente sua resposta.
Escolha uma opção:
◯ a. taxa média de juros =3,388 \% am
◯ b. taxa média de juros =2,786 \% am
◯ c. taxa média de juros =2,880 \% am
◯ d. taxa média de juros =2,886 \% am
◯ e. taxa média de juros =3,586 \% am

Passo 1

O enunciado dá três aplicações a juros simples e pede a taxa média de juros mensal (am). Dados fornecidos:
  • Principal P_1 = \mathrm{R}\$\,100{,}00 com taxa r_1 = 1\%\\ \text{am}.
  • Principal P_2 = \mathrm{R}\$\,200{,}00 com taxa r_2 = 1{,}6\%\\ \text{am}.
  • Principal P_3 = \mathrm{R}\$\,400{,}00 com taxa r_3 = 4\%\\ \text{am}.
O que se pede:
  • Determinar a taxa média de juros mensal e escolher a alternativa correta entre as opções (a) a (e).

Passo 2

Razão prática e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Para juros simples, o juro obtido por cada aplicação em um mesmo intervalo de tempo t é dado por I_i = P_i r_i t, onde:
    • I_i é o juro (em reais) da i-ésima aplicação,
    • P_i é o principal (em reais) da i-ésima aplicação,
    • r_i é a taxa (em forma decimal) da i-ésima aplicação,
    • t é o tempo (em meses, aqui) — o mesmo para todas as aplicações se compararmos taxas médias.
  • Se definirmos uma taxa média \bar{r} tal que o juro total seja I_{\text{tot}} = P_{\text{tot}} \bar{r} t, onde P_{\text{tot}}=\sum P_i, então: \sum I_i = \sum P_i r_i t = P_{\text{tot}} \bar{r} t.
  • Cancelando t (porque é comum a todos), obtemos a fórmula da taxa média ponderada pelos capitais: \bar{r}=\frac{\sum P_i r_i}{\sum P_i}.
  • Em palavras: a taxa média é a média ponderada das taxas, com pesos iguais aos montantes investidos.

Passo 3

Converter as porcentagens para forma decimal (usar vírgula como separador decimal) e calcular os produtos P_i r_i:
  • r_1 = 1\% = 0,01. Então P_1 r_1 = 100\cdot 0,01 = 1.
  • r_2 = 1{,}6\% = 0,016. Então P_2 r_2 = 200\cdot 0,016 = 3{,}2.
  • r_3 = 4\% = 0,04. Então P_3 r_3 = 400\cdot 0,04 = 16.
Somando:
\sum P_i r_i = 1 + 3{,}2 + 16 = 20{,}2.

Passo 4

Calcular o total dos capitais:
\sum P_i = 100 + 200 + 400 = 700.

Passo 5

Calcular a taxa média usando a fórmula:
\bar{r}=\frac{\sum P_i r_i}{\sum P_i}=\frac{20{,}2}{700}.
Fazendo a divisão:
\frac{20{,}2}{700}=0{,}028857142857\ldots
Convertendo para porcentagem:
\bar{r}=0{,}028857142857\ldots \times 100\% = 2{,}8857142857\%\\ \text{am}.
Arredondando a três casas decimais (conforme as alternativas dadas) obtemos
\bar{r}\approx 2{,}886\%\\ \text{am}.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que coincide com 2{,}886\%\\ \text{am} é a letra d.

Resposta

d. taxa média de juros =2{,}886\%\\ \text{am}

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