Calcule as integrais definidas abaixo utilizando:
  • a regra do trapézio;
  • a regra de Simpson 1 / 3;
  • a regra de Simpson 3/8.
Utilize 6 e 10 subdivisões do intervalo de integração em cada caso e compare os resultados obtidos. Decida em que casos pode ou nao pode usar cada uma das regras.
\int_{-1,5}^{0} x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule numericamente a integral
\int_{-1,5}^{0} x e^{x}\,dx
utilizando as regras compostas do trapézio, de Simpson 1/3 e de Simpson 3/8, com n=6 e n=10 subintervalos, e que se compare os resultados. Dados importantes extraídos do enunciado:
  • Limites de integração: a=-1,5 e b=0.
  • Função a integrar: f(x)=x e^{x}.
  • Devemos aplicar as três regras para n=6 e n=10 (quando forem aplicáveis).
    Neste passo apenas organizei o que é pedido; a resolução numérica começa no passo seguinte.

Passo 2

Primeiro vou encontrar o valor exato da integral (útil para comparar erros).
  • Uma primitiva de f(x)=x e^{x} é obtida por integração por partes ou pela fórmula direta:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = (x-1)e^{x} + C.
  • Avaliando nos limites a=-1,5 e b=0:
\int_{-1,5}^{0} x e^{x}\,dx = \left[(x-1)e^{x}\right]_{-1,5}^{0} = (0-1)e^{0} - (-1,5-1)e^{-1,5}.
\int_{-1,5}^{0} x e^{x}\,dx = -1 - (-2,5)e^{-1,5} = -1 + 2,5\,e^{-1,5}.
  • Valor numérico (referência):
\int_{-1,5}^{0} x e^{x}\,dx = -1 + 2,5\,e^{-1,5} \approx -0,442174599748\ldots

Passo 3

Vou apresentar as fórmulas compostas que vou usar e explicar o que cada símbolo significa.
  • Intervalo: a=-1,5, b=0, n é o número de subintervalos.
  • Passo (largura de subintervalo): h=\dfrac{b-a}{n}.
  • Nós (pontos): x_i = a + i h para i=0,1,\dots,n. Denoto f_i = f(x_i).
Regras compostas:
  1. Regra do trapézio composta:
T_n = h\left(\frac{f_0+f_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f_i\right).
  1. Regra de Simpson 1/3 composta (exige n par):
S_{1/3,n} = \frac{h}{3}\left(f_0+f_n + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f_i\right).í
  1. Regra de Simpson 3/8 composta (exige n múltiplo de 3):
S_{3/8,n} = \frac{3h}{8}\left(f_0+f_n + 3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{n-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{n-3} f_i\right).
Explicação rápida: as somas com coeficiente 4 ou 3 pesam os nós interiores alternadamente; as condições de n (par ou múltiplo de 3) vêm das fórmulas básicas de Simpson que aproximam por polinômios de grau 2 ou 3 por bloco.

Passo 4

Cálculo dos pontos e valores de f(x)=x e^{x} para n=6.
  • h=\dfrac{0-(-1,5)}{6}=\dfrac{1,5}{6}=0,25.
  • Nós x_i e f_i (calculei f_i = x_i e^{x_i}):
    • x_0=-1,5,\quad f_0=-1,5e^{-1,5}\approx -0,33469524022264473.
    • x_1=-1,25,\quad f_1=-1,25e^{-1,25}\approx -0,3581309960752376.
    • x_2=-1,0,\quad f_2=-1,0e^{-1,0}\approx -0,36787944117144233.
    • x_3=-0,75,\quad f_3=-0,75e^{-0,75}\approx -0,354274914555761.
    • x_4=-0,5,\quad f_4=-0,5e^{-0,5}\approx -0,3032653298563167.
    • x_5=-0,25,\quad f_5=-0,25e^{-0,25}\approx -0,19470019576785122.
    • x_6=0,\quad f_6=0.

Passo 5

Aplicando a regra do trapézio composta com n=6.
  • Fórmula:
T_6 = h\left(\frac{f_0+f_6}{2} + \sum_{i=1}^{5} f_i\right).
  • Cálculo das somas:
\frac{f_0+f_6}{2}=\frac{-0,33469524022264473+0}{2}=-0,16734762011132237,
\sum_{i=1}^{5} f_i = -1,5782508774266092 \quad(\text{soma de }f_1\text{ a }f_5).
T_6 = 0,25\left(-0,16734762011132237 -1,5782508774266092\right) = 0,25(-1,7455984975379316) \approx -0,4363996243844829.
  • Erro aproximado em relação ao valor exato \approx -0,442174599748 é cerca de 0,00577.

Passo 6

Aplicando Simpson 1/3 composta com n=6 (permitido porque 6 é par).
  • Fórmula:
S_{1/3,6} = \frac{h}{3}\left(f_0+f_6 + 4(f_1+f_3+f_5) + 2(f_2+f_4)\right).
  • Cálculos intermediários:
f_1+f_3+f_5 = -0,9071061063988498,\qquad f_2+f_4 = -0,6711447710277591.
S_{1/3,6} = \frac{0,25}{3}\left(-0,33469524022264473 + 4(-0,9071061063988498) + 2(-0,6711447710277591)\right).
S_{1/3,6} = 0,08333333333333333(-5,305409207873562) \approx -0,4421174339894635.
  • Erro aproximado em relação ao exato é \approx 5,7\times 10^{-5}.

Passo 7

Aplicando Simpson 3/8 composta com n=6 (permitido porque 6 é múltiplo de 3).
  • Fórmula (com h=0,25):
S_{3/8,6} = \frac{3h}{8}\Big(f_0+f_6 + 3\sum_{i\not\equiv 0\,(\mathrm{mod}\,3)} f_i + 2\sum_{i\equiv 0\,(\mathrm{mod}\,3),\,1\le i\le n-1} f_i\Big).
  • Aqui os índices múltiplos de 3 (exceto extremos) são i=3. Os outros interiores são i=1,2,4,5.
\sum_{i\not\equiv 0} f_i = -1,2239759628708478,\qquad \sum_{i\equiv 0} f_i = f_3 = -0,354274914555761.
S_{3/8,6} = \frac{3\cdot 0,25}{8}\Big(-0,33469524022264473 + 3(-1,2239759628708478) + 2(-0,354274914555761)\Big).
S_{3/8,6} = 0,09375(-4,71517295794671) \approx -0,4420806013975239.
  • Erro aproximado em relação ao exato é \approx 9,4\times 10^{-5}.

Passo 8

Cálculo dos pontos e valores de f(x)=x e^{x} para n=10.
  • h=\dfrac{1,5}{10}=0,15.
  • Nós x_i e f_i (valores aproximados):
    • x_0=-1,5,\quad f_0\approx -0,33469524022264473.
    • x_1=-1,35,\quad f_1\approx -0,3499743516843026.
    • x_2=-1,2,\quad f_2\approx -0,3614330542946424.
    • x_3=-1,05,\quad f_3\approx -0,36743463675555.
    • x_4=-0,9,\quad f_4\approx -0,3659126937665392.
    • x_5=-0,75,\quad f_5\approx -0,354274914555761.
    • x_6=-0,6,\quad f_6\approx -0,32928698165641584.
    • x_7=-0,45,\quad f_7\approx -0,28693266822979796.
    • x_8=-0,3,\quad f_8\approx -0,22224546620451537.
    • x_9=-0,15,\quad f_9\approx -0,12910619646375867.
    • x_{10}=0,\quad f_{10}=0.

Passo 9

Aplicando a regra do trapézio composta com n=10.
  • Fórmula:
T_{10} = h\left(\frac{f_0+f_{10}}{2} + \sum_{i=1}^{9} f_i\right).
  • Cálculo:
\frac{f_0+f_{10}}{2} = -0,16734762011132237,\qquad \sum_{i=1}^{9} f_i = -2,766600963611283.
T_{10} = 0,15\,(-2,9339485837226053) \approx -0,4400922875583908.
  • Erro em relação ao exato \approx 0,0020823.

Passo 10

Aplicando Simpson 1/3 composta com n=10 (permitido porque 10 é par).
  • Fórmula:
S_{1/3,10} = \frac{h}{3}\Big(f_0+f_{10} + 4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f_i + 2\sum_{i\\ \text{par},\,i\ne 0,10} f_i\Big).í
  • Cálculos:
\sum_{\text{ímpar}} f_i = f_1+f_3+f_5+f_7+f_9 \approx -1,4877227676891702,í
\sum_{\text{par}} f_i = f_2+f_4+f_6+f_8 \approx -1,2788781959221128.
S_{1/3,10} = \frac{0,15}{3}\big(-0,33469524022264473 + 4(-1,4877227676891702) + 2(-1,2788781959221128)\big).
S_{1/3,10} = 0,05(-8,843342702823551) \approx -0,44216713514117755.
  • Erro em relação ao exato é muito pequeno, cerca de 7{,}5\times 10^{-6}.

Passo 11

Sobre a aplicação de Simpson 3/8 para n=10.
  • A regra composta de Simpson 3/8 exige que n seja múltiplo de 3. Como 10 não é múltiplo de 3, NÃO se pode aplicar diretamente a forma composta de Simpson 3/8 com n=10.
  • Observação prática (opcional): é possível construir uma aproximação híbrida onde se aplica Simpson 3/8 em, por exemplo, 9 subintervalos e outra regra (trapézio ou Simpson 1/3) no restante, mas isso já sai do pedido direto; aqui sigo a exigência de usar a regra composta inteira com o n dado, logo para n=10 o 3/8 não é aplicável.

Passo 12

Comparação dos resultados e comentários sobre precisão e aplicabilidade:
  • Valor exato (referência):
-1 + 2,5e^{-1,5} \approx -0,442174599748\ldots
  • Resultados obtidos:
    • Com n=6:
      • Trapézio: T_6\approx -0,4363996243844829 (erro \approx 5{,}77\times 10^{-3}).
      • Simpson 1/3: S_{1/3,6}\approx -0,4421174339894635 (erro \approx 5{,}7\times 10^{-5}).
      • Simpson 3/8: S_{3/8,6}\approx -0,4420806013975239 (erro \approx 9{,}4\times 10^{-5}).
    • Com n=10:
      • Trapézio: T_{10}\approx -0,4400922875583908 (erro \approx 2{,}08\times 10^{-3}).
      • Simpson 1/3: S_{1/3,10}\approx -0,44216713514117755 (erro \approx 7{,}5\times 10^{-6}).
      • Simpson 3/8: não aplicável diretamente para n=10 (pois 10 não é múltiplo de 3).
Comentários didáticos e práticos:
  • As fórmulas de Simpson (tanto 1/3 quanto 3/8) são de ordem mais alta que o trapézio para funções suaves; por isso, com o mesmo n, normalmente Simpson dá erro muito menor (como visto).
  • A escolha entre 1/3 e 3/8 depende apenas da divisibilidade de n: S_{1/3} exige n par, S_{3/8} exige n múltiplo de 3. Se ambos forem possíveis (ex.: n=6), ambos podem ser usados; às vezes seus resultados são muito próximos (como ocorreu aqui).
  • Em provas: antes de aplicar Simpson, verifique a condição sobre n. Se não atender, use trapézio ou combine blocos válidos conscientemente (se permitido).

Passo 13

Força aí — você já viu a integral exata e como as três regras se comportam com n=6 e n=10. Na prática para esta integral Simpson 1/3 com n=10 foi o mais preciso. Se quiser, faço uma versão com menos casas decimais arredondadas ou mostro o caso híbrido com S_{3/8} aplicado em partes (por exemplo 9 subintervalos + 1 subintervalo restante), mas isso foge ao pedido direto.

Resposta

Trapézio n=6:\;-0,4363996243844829
Simpson 1/3\;\,n=6:\;-0,4421174339894635
Simpson 3/8\;\,n=6:\;-0,4420806013975239
Trapézio n=10:\;-0,4400922875583908
Simpson 1/3\;\,n=10:\;-0,44216713514117755
Simpson 3/8\;\,n=10:\;\text{não aplicável (}n=10\text{ não é múltiplo de }3\text{)}.ãáãéú

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