Utilize 6 e 10 subdivisões do intervalo de integração em cada caso e compare os resultados obtidos. Decida em que casos pode ou nao pode usar cada uma das regras. \int_{-1,5}^{0} x e^{x} d x
Passo 1
O enunciado pede que se calcule numericamente a integral
\int_{-1,5}^{0} x e^{x}\,dx
utilizando as regras compostas do trapézio, de Simpson 1/3 e de Simpson 3/8, com n=6 e n=10 subintervalos, e que se compare os resultados. Dados importantes extraídos do enunciado:
Limites de integração: a=-1,5 e b=0.
Função a integrar: f(x)=x e^{x}.
Devemos aplicar as três regras para n=6 e n=10 (quando forem aplicáveis).
Neste passo apenas organizei o que é pedido; a resolução numérica começa no passo seguinte.
Passo 2
Primeiro vou encontrar o valor exato da integral (útil para comparar erros).
Uma primitiva de f(x)=x e^{x} é obtida por integração por partes ou pela fórmula direta:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = (x-1)e^{x} + C.
Avaliando nos limites a=-1,5 e b=0:
\int_{-1,5}^{0} x e^{x}\,dx = \left[(x-1)e^{x}\right]_{-1,5}^{0} = (0-1)e^{0} - (-1,5-1)e^{-1,5}.
Explicação rápida: as somas com coeficiente 4 ou 3 pesam os nós interiores alternadamente; as condições de n (par ou múltiplo de 3) vêm das fórmulas básicas de Simpson que aproximam por polinômios de grau 2 ou 3 por bloco.
Passo 4
Cálculo dos pontos e valores de f(x)=x e^{x} para n=6.
Erro em relação ao exato é muito pequeno, cerca de 7{,}5\times 10^{-6}.
Passo 11
Sobre a aplicação de Simpson 3/8 para n=10.
A regra composta de Simpson 3/8 exige que n seja múltiplo de 3. Como 10 não é múltiplo de 3, NÃO se pode aplicar diretamente a forma composta de Simpson 3/8 com n=10.
Observação prática (opcional): é possível construir uma aproximação híbrida onde se aplica Simpson 3/8 em, por exemplo, 9 subintervalos e outra regra (trapézio ou Simpson 1/3) no restante, mas isso já sai do pedido direto; aqui sigo a exigência de usar a regra composta inteira com o n dado, logo para n=10 o 3/8 não é aplicável.
Passo 12
Comparação dos resultados e comentários sobre precisão e aplicabilidade:
Simpson 3/8: não aplicável diretamente para n=10 (pois 10 não é múltiplo de 3).
Comentários didáticos e práticos:
As fórmulas de Simpson (tanto 1/3 quanto 3/8) são de ordem mais alta que o trapézio para funções suaves; por isso, com o mesmo n, normalmente Simpson dá erro muito menor (como visto).
A escolha entre 1/3 e 3/8 depende apenas da divisibilidade de n: S_{1/3} exige n par, S_{3/8} exige n múltiplo de 3. Se ambos forem possíveis (ex.: n=6), ambos podem ser usados; às vezes seus resultados são muito próximos (como ocorreu aqui).
Em provas: antes de aplicar Simpson, verifique a condição sobre n. Se não atender, use trapézio ou combine blocos válidos conscientemente (se permitido).
Passo 13
Força aí — você já viu a integral exata e como as três regras se comportam com n=6 e n=10. Na prática para esta integral Simpson 1/3 com n=10 foi o mais preciso. Se quiser, faço uma versão com menos casas decimais arredondadas ou mostro o caso híbrido com S_{3/8} aplicado em partes (por exemplo 9 subintervalos + 1 subintervalo restante), mas isso foge ao pedido direto.
Resposta
Trapézio n=6:\;-0,4363996243844829
Simpson 1/3\;\,n=6:\;-0,4421174339894635
Simpson 3/8\;\,n=6:\;-0,4420806013975239
Trapézio n=10:\;-0,4400922875583908
Simpson 1/3\;\,n=10:\;-0,44216713514117755
Simpson 3/8\;\,n=10:\;\text{não aplicável (}n=10\text{ não é múltiplo de }3\text{)}.ãáãéú