Calcule a integral de linha
integralC x+y d s
onde C: x^2+y^2=4,0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é integralC (x + y) , ds. A equação da curva C é x^2 + y^2 = 4 com 0 <= t <= pi, que representa uma semicircunferência de raio 2. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, parametrização de curvas e como calcular o elemento de comprimento ds.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é uma semicircunferência de raio 2, podemos usar a parametrização trigonométrica:
x(t) = 2cos(t) y(t) = 2sin(t)
onde t varia de 0 a pi.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento ds. Sabemos que:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos calcular dxdt e dydt:
dxdt = -2sin(t)
dydt = 2cos(t)
Substituindo na expressão de ds:
ds = raiz(-2sin(t))^2 + (2cos(t))^2 , dt = raiz4sin^2(t) + 4cos^2(t) , dt = raiz4(sin^2(t) + cos^2(t)) , dt = raiz4 cdot 1 , dt = 2 , dt

Passo 4

Agora, substituímos x(t), y(t) e ds na integral original:
integralC (x + y) , ds = integral0^pi (2cos(t) + 2sin(t)) cdot 2 , dt = 2 integral0^pi (2cos(t) + 2sin(t)) , dt
Simplificando:
= 4 integral0^pi (cos(t) + sin(t)) , dt

Passo 5

Vamos resolver a integral:
4 integral0^pi cos(t) , dt + 4 integral0^pi sin(t) , dt
Calculando cada parte:
integral0^pi cos(t) , dt = sin(t) |0^pi = sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0
integral0^pi sin(t) , dt = -cos(t) |0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 2
Então:
4 cdot 0 + 4 cdot 2 = 0 + 8 = 8

Resposta

O valor da integral de linha é 8.

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