Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1: Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
f(t)=e^a t sen(b t+c)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^a tsin(b t + c)
O conteúdo necessário envolve a definição da transformada de Laplace, a linearidade, o teorema de translação em s (para o fator e^a t) e a fórmula de soma de ângulos para a função seno.

Passo 2

Usamos a identidade de soma de ângulos
sin(b t + c)=sin(b t)cos c+cos(b t)sin c,
então
f(t)=e^a tl[sin(b t)cos c+cos(b t)sin cr]
Pela linearidade,
Lf(t) =cos c,Le^a tsin(b t) +sin c,Le^a tcos(b t)

Passo 3

Pelo teorema de translação em s, se
Lg(t)(s)=G(s), então
Le^a tg(t)(s)=G(s-a).
Sabendo que
Lsin(b t)(s)=bs^2+b^2, Lcos(b t)(s)=ss^2+b^2,
temos
Le^a tsin(b t)(s) =b(s-a)^2+b^2, Le^a tcos(b t)(s) =s-a(s-a)^2+b^2

Passo 4

Substituindo na expressão de Lf(t):
Lf(t)(s) =cos c;b(s-a)^2+b^2 +sin c;s-a(s-a)^2+b^2 =bcos c+(s-a)sin c(s-a)^2+b^2

Resposta

Le^a tsin(b t+c)(s) =bcos c+(s-a)sin c(s-a)^2+b^2, Re(s)>a

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