Uma massa de
é atada a uma mola que tem constante de elasticidade igual a
. A massa parte do repouso 50 cm abaixo da posição de equilibrio e o movimento subsequente está sujeito a uma força de amortecimento igual à metade da velocidade instantânea. Encontre a equação de movimento se o peso sofre a ação de uma força externa igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma massa de 0,5 kg ligada a uma mola com constante de elasticidade de 6 N/m. A massa é solta do repouso a 50 cm abaixo da posição de equilíbrio. Além disso, o movimento está sujeito a uma força de amortecimento que é metade da velocidade instantânea. E ainda, há uma força externa agindo no sistema, que é
.
Matéria envolvida: Movimento Harmônico Amortecido com Força Externa.
O que precisamos para resolver: Entender como montar a equação diferencial que descreve esse sistema levando em conta a massa, a mola, o amortecimento e a força externa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de movimento para um sistema massa-mola com amortecimento e força externa é dada por:
Onde:
-
é a massa, -
é a constante de amortecimento, -
é a constante da mola, -
é a força externa.
Passo 3
Vamos identificar cada um dos valores fornecidos no problema:
- Massa (
): 0,5 kg - Constante da mola (
): 6 N/m - Força de amortecimento (
): A força de amortecimento é igual a metade da velocidade, então (pois ) - Força externa (
): N
Passo 4
Substituindo esses valores na equação geral:
Passo 5
Para simplificar, vamos dividir toda a equação por 0,5:
Aqui, dividimos cada termo:
Passo 6
Então, a equação de movimento final fica:
Isso descreve como a posição
da massa varia ao longo do tempo, considerando a mola, o amortecimento e a força externa aplicadas.
Resposta
A equação de movimento é: