Uma massa de 0,5 kg é atada a uma mola que tem constante de elasticidade igual a 6 N / m. A massa parte do repouso 50 cm abaixo da posição de equilibrio e o movimento subsequente está sujeito a uma força de amortecimento igual à metade da velocidade instantânea. Encontre a equação de movimento se o peso sofre a ação de uma força externa igual a f(t)=5 cos (2 t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma massa de 0,5 kg ligada a uma mola com constante de elasticidade de 6 N/m. A massa é solta do repouso a 50 cm abaixo da posição de equilíbrio. Além disso, o movimento está sujeito a uma força de amortecimento que é metade da velocidade instantânea. E ainda, há uma força externa agindo no sistema, que é f(t) = 5 cos(2t) .
Matéria envolvida: Movimento Harmônico Amortecido com Força Externa.
O que precisamos para resolver: Entender como montar a equação diferencial que descreve esse sistema levando em conta a massa, a mola, o amortecimento e a força externa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de movimento para um sistema massa-mola com amortecimento e força externa é dada por:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = f(t)
Onde:
  • m é a massa,
  • c é a constante de amortecimento,
  • k é a constante da mola,
  • f(t) é a força externa.

Passo 3

Vamos identificar cada um dos valores fornecidos no problema:
  • Massa ( m ): 0,5 kg
  • Constante da mola ( k ): 6 N/m
  • Força de amortecimento ( c ): A força de amortecimento é igual a metade da velocidade, então c = 0,5 (pois Famortecimento = c dxdt )
  • Força externa ( f(t) ): 5 cos(2t) N

Passo 4

Substituindo esses valores na equação geral:
0,5 d^2xdt^2 + 0,5 dxdt + 6x = 5 cos(2t)

Passo 5

Para simplificar, vamos dividir toda a equação por 0,5:
d^2xdt^2 + dxdt + 12x = 10 cos(2t)
Aqui, dividimos cada termo:
  • 0,5 div 0,5 = 1
  • 0,5 div 0,5 = 1
  • 6 div 0,5 = 12
  • 5 div 0,5 = 10

Passo 6

Então, a equação de movimento final fica:
d^2xdt^2 + dxdt + 12x = 10 cos(2t)
Isso descreve como a posição x(t) da massa varia ao longo do tempo, considerando a mola, o amortecimento e a força externa aplicadas.

Resposta

A equação de movimento é:
d^2xdt^2 + dxdt + 12x = 10 cos(2t)

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