As características de duas bombas para uma determinada rotação constante são mostradas abaixo.
Q ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036
Bomba A - H(m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9
\eta (%) 0 32 74 86 85 66 28
Bomba B - H (m) 16,2 13,6 11,8 11,6 10,7 8,0 5,4
\eta (%) 0 14 22 60 80 80 60
Uma destas duas bombas deve ser utilizada para bombear água através de uma tubulação de 10 cm de diâmetro, 21 m de comprimento, coeficiente \mathrm{C} \_\mathrm{HZ}=135, altura geométrica 3,2 \mathrm{~m}. Despreze as perdas localizadas. Selecione a bomba mais indicada para o caso, Justifique. Qual a potência requerida para a bomba selecionada. [B - 4,08 c.v.]

Passo 1

O enunciado fornece as características (pares vazão - altura e rendimento) de duas bombas na mesma rotação, em vazões discretas:
Q=\{0;\;0,006;\;0,012;\;0,018;\;0,024;\;0,030;\;0,036\}\\ \mathrm{m^3/s}.
Bomba A — alturas (m):
\{22,6;\;21,9;\;20,3;\;17,7;\;14,2;\;9,7;\;3,9\},
rendimento (%):
\{0;\;32;\;74;\;86;\;85;\;66;\;28\}.
Bomba B — alturas (m):
\{16,2;\;13,6;\;11,8;\;11,6;\;10,7;\;8,0;\;5,4\},
rendimento (%):
\{0;\;14;\;22;\;60;\;80;\;80;\;60\}.
Dados do sistema hidráulico (tubulação):
\text{diâmetro } d=0,10\\ \mathrm{m},\quad L=21\\ \mathrm{m},\quad C_\mathrm{HZ}=135,\quad H_\mathrm{geom}=3,2\\ \mathrm{m}.â
Desprezam-se perdas localizadas.
O que se pede:
  1. selecionar qual bomba é mais indicada (justificar); 2) determinar a potência requerida para a bomba selecionada (em c.v.).

Passo 2

Método de resolução (explicação didática do que vamos usar).
  • O ponto de operação da bomba é a vazão \,Q tal que a curva da bomba H_\mathrm{bomba}(Q) corta a curva do sistema H_\mathrm{sist}(Q).
  • A curva do sistema é a soma da altura geométrica com a perda de carga por atrito na tubulação:
H_\mathrm{sist}(Q)=H_\mathrm{geom}+h_f(Q).
  • Para h_f(Q) usaremos a fórmula de Hazen–Williams (forma prática em unidades SI: h_f em metros, Q em \mathrm{m^3/s}, d em metros, L em metros, C adimensional):
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,d^{4{,}871}}.
Explicação das variáveis:
L=\text{comprimento da tubulação (m)},\quad Q=\text{vazão (m}^3\!/s),\quad C=C_\mathrm{HZ},çãã
d=\text{diâmetro interno (m)}.â
  • Para facilitar os cálculos vamos calcular um coeficiente numérico K que agrupa os termos constantes:
K=10{,}67\frac{L}{C^{1{,}852} d^{4{,}871}},
tal que
h_f = K\,Q^{1{,}852}.

Passo 3

Cálculo do coeficiente K para os dados do problema.
  • Primeiro calculei C^{1{,}852} = 135^{1{,}852} (valor aproximado) e d^{4{,}871} = (0{,}10)^{4{,}871}.
  • O resultado numérico (cálculos mostrados resumidos) é
C^{1{,}852}\approx 8827,\qquad d^{4{,}871}\approx 1{,}349\times 10^{-5}.
  • Portanto o denominador é \approx 0{,}11904 e
K = 10{,}67\frac{21}{0{,}11904}\approx 1881{,}4.
Conclusão:
h_f(Q)\approx 1881{,}4\;Q^{1{,}852}\quad\text{(com }Q\text{ em m}^3\!/s, }h_f\text{ em m).}

Passo 4

Cálculo de h_f e de H_\mathrm{sist}=H_\mathrm{geom}+h_f nas vazões da tabela (cálculos mostrados por linha).
  • Para Q=0: h_f=0\Rightarrow H_\mathrm{sist}=3{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Para Q=0{,}006:
Q^{1{,}852}=(0{,}006)^{1{,}852}\approx 7{,}67\times 10^{-5},
h_f\approx 1881{,}4\cdot 7{,}67\times 10^{-5}\approx 0{,}1443\\ \mathrm{m},
H_\mathrm{sist}\approx 3{,}2+0{,}1443=3{,}3443\\ \mathrm{m}.
  • Repetindo para todas as vazões (valores arredondados):
\begin{array}{c|c|c} Q\\ (\mathrm{m^3/s}) & h_f\\ (\mathrm{m}) & H_\mathrm{sist}\\ (\mathrm{m})\\hline 0 & 0{,}000 & 3{,}200\\\\ 0{,}006 & 0{,}144 & 3{,}344\\\\ 0{,}012 & 0{,}521 & 3{,}721\\\\ 0{,}018 & 1{,}104 & 4{,}304\\\\ 0{,}024 & 1{,}877 & 5{,}077\\\\ 0{,}030 & 2{,}847 & 6{,}047\\\\ 0{,}036 & 3{,}982 & 7{,}182 \end{array}

Passo 5

Encontrar ponto de operação (interseção) aproximado pela comparação entre H_\mathrm{bomba}(Q) e H_\mathrm{sist}(Q) nos pontos da tabela e interpolação linear onde houver mudança de sinal da diferença.
  • Para cada vazão calculei \Delta H(Q)=H_\mathrm{bomba}(Q)-H_\mathrm{sist}(Q).
  • Observação rápida: para ambas as bombas \Delta H passa de positivo (em Q=0{,}030) a negativo (em Q=0{,}036), portanto o corte está entre 0{,}030 e 0{,}036\\ \mathrm{m^3/s}.
Interpolação linear para achar Q_\mathrm{op}.
Para a Bomba A:
\Delta H(0{,}030)=9{,}7-6{,}047=3{,}653,
\Delta H(0{,}036)=3{,}9-7{,}182=-3{,}282.
Interpolando linearmente para \Delta H=0:
Q_\mathrm{op,A}=0{,}030+\frac{0-3{,}653}{-3{,}282-3{,}653}\,(0{,}036-0{,}030)\approx 0{,}03316\\ \mathrm{m^3/s}.
Altura correspondente (interpolando a curva da bomba ou a do sistema) dá
H_\mathrm{op,A}\approx 6{,}645\\ \mathrm{m}.
Para a Bomba B:
\Delta H(0{,}030)=8{,}0-6{,}047=1{,}953,
\Delta H(0{,}036)=5{,}4-7{,}182=-1{,}782.
Interpolando:
Q_\mathrm{op,B}=0{,}030+\frac{0-1{,}953}{-1{,}782-1{,}953}\,(0{,}036-0{,}030)\approx 0{,}03314\\ \mathrm{m^3/s}.
Altura correspondente:
H_\mathrm{op,B}\approx 6{,}64\\ \mathrm{m}.
Observação importante (didática): as duas bombas cortam a curva do sistema em vazões muito próximas porque as curvas das bombas se cruzam entre 0{,}030 e 0{,}036. Portanto a escolha não é pelo ponto de operação (ambas entregam praticamente a mesma Q e H), e sim por outro critério relevante: rendimento.

Passo 6

Avaliação dos rendimentos no ponto de operação (interpolação linear entre pontos da tabela de rendimento).
  • Para a Bomba A (entre Q=0{,}030 e 0{,}036):
\eta_A(0{,}03316)\approx 66\% + \frac{0{,}03316-0{,}030}{0{,}006}(28-66)\%
\eta_A\approx 66\% +0{,}5267\cdot(-38\%)\approx 45{,}7\%\\ (=0{,}457).
  • Para a Bomba B (entre Q=0{,}030 e 0{,}036):
\eta_B(0{,}03314)\approx 80\% +\frac{0{,}03314-0{,}030}{0{,}006}(60-80)\%
\eta_B\approx 80\% +0{,}5233\cdot(-20\%)\approx 69{,}5\%\\ (=0{,}695).
Justificativa da escolha (resumida): embora ambas as bombas operem praticamente na mesma vazão e altura, a Bomba B tem rendimento muito maior no ponto de operação ( \approx 69{,}5\% contra \approx 45{,}7\% da A). Como a potência de eixo necessária depende de \dfrac{1}{\eta}, a Bomba B exigirá menos potência elétrica e custos menores — logo é a mais indicada.

Passo 7

Cálculo da potência requerida para a Bomba B no ponto de operação (forma e substituição numérica).
  • Fórmulas:
P_\mathrm{hid}=\rho g Q H \quad\text{(potência hidráulica em W)},êá
P_\mathrm{eixo}=\frac{P_\mathrm{hid}}{\eta}\quad\text{(potência no eixo em W)}.ê
Constantes usadas:
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\quad Q\approx 0{,}03314\\ \mathrm{m^3/s},
H\approx 6{,}64\\ \mathrm{m},\quad \eta\approx 0{,}695.
Cálculo numérico:
P_\mathrm{hid}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}03314\cdot 6{,}64\approx 2{,}158\\ \mathrm{kW}.
P_\mathrm{eixo}=\frac{2{,}158\\ \mathrm{kW}}{0{,}695}\approx 3{,}104\\ \mathrm{kW}.
Converter para cavalos-vapor (1 c.v. =735{,}5\\ \mathrm{W}):
P_\mathrm{eixo} = \frac{3104\\ \mathrm{W}}{735{,}5\\ \mathrm{W/c.v.}}\approx 4{,}22\\ \mathrm{c.v.}
(Arredondei para duas casas decimais.)

Passo 8

Síntese e verificação rápida:
  • Ambas as bombas cortam a curva do sistema em Q\approx 0{,}0331\\ \mathrm{m^3/s} e H\approx 6{,}64\\ \mathrm{m}.
  • A escolha baseia‑se no rendimento: \eta_B\approx 69{,}5\% é muito superior a \eta_A\approx 45{,}7\%, portanto a Bomba B é a mais indicada.
  • Potência requerida no eixo da bomba B: \approx 3{,}10\\ \mathrm{kW} \approx 4{,}22\\ \mathrm{c.v.}.

Resposta

B
Potência requerida ≈ 4,22 c.v.

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