Reconsidere o manômetro de vários fluidos discutido no Exemplo 3-3. Determine a pressão do ar no tanque usando o EES. Determine também qual seria a altura diferencial
do fluido para a mesma pressão de ar se o mercúrio da última coluna fosse substitufdo por água do mar com densidade de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a pressão do ar no tanque usando o EES.
- Determinar a nova altura diferencial
do fluido quando o mercúrio da última coluna é substituído por água do mar de densidade , mantendo a mesma pressão de ar.
Informações relevantes que seriam necessárias (e que normalmente estão no Exemplo 3‑3 ou na figura do problema):
- Pressão atmosférica
(se a outra extremidade do manômetro estiver aberta ao ar). - Geometria/alturas conhecidas das colunas de fluido originais: por exemplo
(ou outros ramos) e quais dessas alturas são medidas para cima/para baixo entre pontos ligados. - Densidades dos fluidos presentes originalmente (por exemplo densidade do mercúrio
, densidade do óleo , água, ar etc.). - A posição dos pontos de referência conectando o tanque ao ramo aberto (ou seja, o caminho contínuo através dos vários fluidos).
- A gravidade
(normalmente ).
Observação importante: o enunciado que você enviou se refere ao “Exemplo 3‑3” mas não incluiu a figura nem os valores numéricos (alturas e densidades) desse exemplo. Sem esses dados numéricos e sem a figura/diagrama eu não posso calcular valores numéricos concretos para
ou para
. Vou, portanto, ensinar passo a passo o método completo (didático e detalhado), mostrar as equações que você deve inserir no EES e mostrar como obter
para o caso do mercúrio substituído por água do mar. No final eu explicito exatamente quais números você precisa inserir para obter o resultado numérico no EES.
Passo 2
Princípio físico usado (aula rápida e prática):
- Em repouso, a pressão varia com a profundidade segundo a equação hidrostática.
- Para um fluido incompressível e de densidade constante
, Aqui: -
é a pressão no ponto com cota . -
é a pressão no ponto com cota . -
é a aceleração da gravidade (use se nada for dado).
-
- Interpretação prática: ao descer uma coluna de fluido (ir de um ponto de maior cota para um de menor cota) a pressão aumenta de
; ao subir, diminui.
Como aplicar isso a um manômetro múltiplo:
- Percorra um caminho contínuo do ponto onde você conhece a pressão (por exemplo superfície aberta ao ar com pressão
) até o ponto no tanque cuja pressão você quer encontrar. - Para cada segmento do caminho dentro de um fluido homogêneo com densidade
, some ou subtraia dependendo se você desceu ( ) ou subiu ( ). - O somatório dessas variações adicionadas a
dá .
Passo 3
Montagem da equação geral (forma algébrica útil para o EES):
- Considere uma sequência de N segmentos conectados entre o ponto 0 (ponto de referência conhecido, por exemplo superfície aberta no ar com pressão
e cota ) e o ponto N (ponto no tanque com pressão e cota ). - Para cada segmento
(com densidade ) a variação de pressão ao longo do segmento é . - Portanto a relação geral é
ou, escrevendo em termos de alturas verticais (positivas quando o segmento é descida do caminho escolhido), - Em manômetros com colunas que sobem e descem, interprete cada
com sinal positivo quando no caminho você desce (aumenta pressão) e negativo quando sobe (diminui pressão). É muitas vezes mais claro traçar o caminho na figura e anotar as quedas/elevações.
Exemplo de aplicação a um manômetro com três colunas (forma prática):
- Suponha que indo de
até você encontra, na ordem, fluidos com densidades e nos desloca verticalmente por alturas (descidas) . Então - Se algum desses segmentos for uma subida no caminho, seu
será numericamente negativo (ou você troca o sinal explicitamente).
Passo 4
Como montar as equações no EES (passo a passo prático):
- No EES você define variáveis e equações; por exemplo:
- Defina
. - Defina
(por exemplo se a extremidade estiver aberta ao ar e não for outro valor). - Defina densidades
, , , etc. (por exemplo tipicamente). - Defina as alturas geométricas conhecidas
etc. (essas vêm da figura do Exemplo 3‑3).
- Defina
- Escreva a equação hidrostática ligando
e . Exemplificando com três segmentos (ajuste à geometria real do seu manômetro): - Se
for desconhecido e as alturas conhecidas, resolva para . - Se desejar calcular
quando muda (por exemplo substituindo por ), isole na equação: tomando cuidado com sinais (se no caminho original representa subida, o numerador muda de sinal). - No EES você simplesmente declara as equações e pede para o solver encontrar
(ou ).
Exemplo de bloco de equações (pseudo‑EES, substitua nomes e números da sua figura):
- No EES:
p_atm = 101325 [Pa]
g = 9.81 [m/s^2]
rho1 = … [kg/m^3] ! densidade fluido 1 (da figura)
rho2 = … [kg/m^3] ! densidade fluido 2
rho3 = 13546 [kg/m^3] ! densidade do mercúrio (exemplo)
h1 = … [m] ! altura conhecida do segmento 1
h2 = … [m] ! altura conhecida do segmento 2
! equação hidrostática ligando p_a
p_a = p_atm + rho1gh1 + rho2gh2 + rho3gh3
! se h3 é conhecido e p_a é desconhecido, resolva; se p_a é conhecido e h3 é desconhecido, reescreva para h3
Passo 5
Como obter
quando o mercúrio é substituído por água do mar:
- Supondo que a pressão do ar no tanque
foi determinada (ou mantida), e que os outros parâmetros permanecem iguais, então a nova altura com é com o sinal correto dependendo da orientação do segmento (se originalmente esse termo entrava com sinal negativo, mantenha o mesmo sinal — a fórmula geral a seguir é a mais segura). - Fórmula geral, usando soma com sinais (mais segura para aplicar direto na figura):
Isolando : - Então, para a substituição por água do mar, troque
nessa expressão e calcule .
Passo 6
Observações sobre unidades e sinais (detalhes importantes que costumam quebrar estudantes na prova):
- Sempre use unidades SI: pressões em pascal (Pa), densidades em
, em , alturas em . - Verifique a orientação vertical no desenho: se você for integrar de um ponto mais alto para um mais baixo, o termo
entra positivo; do mais baixo para o mais alto, entra negativo. - Se no manômetro alguma interface de fluido tem uma superfície livre exposta ao ar, então naquele ponto a pressão é
. Use esse ponto como início do caminho se for conveniente. - Ar tem densidade muito pequena; normalmente tratamos as colunas de ar como desprezíveis na contribuição hidrostática (mas se na figura houver grandes colunas de ar vertical, você pode incluir
).
Passo 7
Resumo do procedimento prático que você deve executar agora (sem eu pedir dados adicionais):
- Pegue a figura do Exemplo 3‑3 e identifique claramente um caminho contínuo entre o ponto onde a pressão é conhecida (tipicamente a extremidade aberta ao ar com
) e o ponto no tanque (pressão ). - Anote as densidades
de cada fluido e as alturas verticais (com sinais segundo descida/subida no caminho). - Monte a equação
- Se
é a incógnita, resolva essa equação no EES para . Se você precisa de após trocar o fluido, isole conforme mostrado no Passo 5 e resolva no EES substituindo por . - No EES verifique as unidades (EES já lida com unidades se você as declarar); rode o solver e verifique se as variáveis convergiram.
Resposta
Não é possível fornecer valores numéricos para a pressão do ar
nem para a nova altura
porque a figura e os valores numéricos do Exemplo 3‑3 (densidades e alturas das colunas) não foram fornecidos.\n
Expressão geral para calcular (usar na entrada do EES):
Expressão geral para calcular
Expressão geral para
quando
mudar (usar no EES para água do mar
):
onde, para água do mar,
.