Reconsidere o manômetro de vários fluidos discutido no Exemplo 3-3. Determine a pressão do ar no tanque usando o EES. Determine também qual seria a altura diferencial h_{3} do fluido para a mesma pressão de ar se o mercúrio da última coluna fosse substitufdo por água do mar com densidade de 1.030 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a pressão do ar no tanque usando o EES.
  2. Determinar a nova altura diferencial h_{3} do fluido quando o mercúrio da última coluna é substituído por água do mar de densidade 1{,}030\\ \mathrm{kg/m^{3}}, mantendo a mesma pressão de ar.
Informações relevantes que seriam necessárias (e que normalmente estão no Exemplo 3‑3 ou na figura do problema):
  • Pressão atmosférica p_{atm} (se a outra extremidade do manômetro estiver aberta ao ar).
  • Geometria/alturas conhecidas das colunas de fluido originais: por exemplo h_{1}, h_{2}, h_{3} (ou outros ramos) e quais dessas alturas são medidas para cima/para baixo entre pontos ligados.
  • Densidades dos fluidos presentes originalmente (por exemplo densidade do mercúrio \rho_{Hg}, densidade do óleo \rho_{óleo}ó, água, ar etc.).
  • A posição dos pontos de referência conectando o tanque ao ramo aberto (ou seja, o caminho contínuo através dos vários fluidos).
  • A gravidade g (normalmente 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Observação importante: o enunciado que você enviou se refere ao “Exemplo 3‑3” mas não incluiu a figura nem os valores numéricos (alturas e densidades) desse exemplo. Sem esses dados numéricos e sem a figura/diagrama eu não posso calcular valores numéricos concretos para p_{ar} ou para h_{3}. Vou, portanto, ensinar passo a passo o método completo (didático e detalhado), mostrar as equações que você deve inserir no EES e mostrar como obter h_{3} para o caso do mercúrio substituído por água do mar. No final eu explicito exatamente quais números você precisa inserir para obter o resultado numérico no EES.

Passo 2

Princípio físico usado (aula rápida e prática):
  • Em repouso, a pressão varia com a profundidade segundo a equação hidrostática.
  • Para um fluido incompressível e de densidade constante \rho, p_2 - p_1 = -\int_{z_1}^{z_2} \rho g\,dz = \rho g (z_1 - z_2).Aqui:
    • p_1 é a pressão no ponto com cota z_1.
    • p_2 é a pressão no ponto com cota z_2.
    • g é a aceleração da gravidade (use 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} se nada for dado).
  • Interpretação prática: ao descer uma coluna de fluido (ir de um ponto de maior cota para um de menor cota) a pressão aumenta de \rho g \Delta z; ao subir, diminui.
Como aplicar isso a um manômetro múltiplo:
  • Percorra um caminho contínuo do ponto onde você conhece a pressão (por exemplo superfície aberta ao ar com pressão p_{atm}) até o ponto no tanque cuja pressão p_{a} você quer encontrar.
  • Para cada segmento do caminho dentro de um fluido homogêneo com densidade \rho_{k}, some ou subtraia \rho_{k} g \Delta z_{k} dependendo se você desceu ( +\rho g \Delta z) ou subiu ( -\rho g \Delta z).
  • O somatório dessas variações adicionadas a p_{atm} p_{a}.

Passo 3

Montagem da equação geral (forma algébrica útil para o EES):
  • Considere uma sequência de N segmentos conectados entre o ponto 0 (ponto de referência conhecido, por exemplo superfície aberta no ar com pressão p_{atm} e cota z_0) e o ponto N (ponto no tanque com pressão p_a e cota z_N).
  • Para cada segmento k (com densidade \rho_k) a variação de pressão ao longo do segmento é \rho_k g (z_{k-1} - z_k).
  • Portanto a relação geral é p_a = p_{atm} + \sum_{k=1}^{N} \rho_k g (z_{k-1} - z_k).ou, escrevendo em termos de alturas verticais h_k = z_{k-1} - z_k (positivas quando o segmento é descida do caminho escolhido), p_a = p_{atm} + \sum_{k=1}^{N} \rho_k g\, h_k.
  • Em manômetros com colunas que sobem e descem, interprete cada h_k com sinal positivo quando no caminho você desce (aumenta pressão) e negativo quando sobe (diminui pressão). É muitas vezes mais claro traçar o caminho na figura e anotar as quedas/elevações.
Exemplo de aplicação a um manômetro com três colunas (forma prática):
  • Suponha que indo de p_{atm} até p_a você encontra, na ordem, fluidos com densidades \rho_1,\rho_2,\rho_3 e nos desloca verticalmente por alturas (descidas) h_1,h_2,h_3. Então p_a = p_{atm} + \rho_1 g h_1 + \rho_2 g h_2 + \rho_3 g h_3.
  • Se algum desses segmentos for uma subida no caminho, seu h_k será numericamente negativo (ou você troca o sinal explicitamente).

Passo 4

Como montar as equações no EES (passo a passo prático):
  • No EES você define variáveis e equações; por exemplo:
    • Defina g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Defina p_{atm} (por exemplo 101325\\ \mathrm{Pa} se a extremidade estiver aberta ao ar e não for outro valor).
    • Defina densidades \rho_{Hg}, \rho_{óleo}ó, \rho_{água}á, etc. (por exemplo \rho_{Hg}=13546\\ \mathrm{kg/m^3} tipicamente).
    • Defina as alturas geométricas conhecidas h_1,h_2, etc. (essas vêm da figura do Exemplo 3‑3).
  • Escreva a equação hidrostática ligando p_a e p_{atm}. Exemplificando com três segmentos (ajuste à geometria real do seu manômetro): p_a = p_{atm} + \rho_1*g*h_1 + \rho_2*g*h_2 + \rho_3*g*h_3.
  • Se p_a for desconhecido e as alturas h_k conhecidas, resolva para p_a.
  • Se desejar calcular h_3 quando \rho_3 muda (por exemplo substituindo \rho_{Hg} por \rho_{sea}=1{,}030\\ \mathrm{kg/m^3}), isole h_3 na equação: h_3 = \frac{p_a - p_{atm} - \sum_{k\neq 3} \rho_k g h_k}{\rho_3 g},tomando cuidado com sinais (se no caminho original h_3 representa subida, o numerador muda de sinal).
  • No EES você simplesmente declara as equações e pede para o solver encontrar p_a (ou h_3).
Exemplo de bloco de equações (pseudo‑EES, substitua nomes e números da sua figura):
  • No EES:
    p_atm = 101325 [Pa]
    g = 9.81 [m/s^2]
    rho1 = … [kg/m^3] ! densidade fluido 1 (da figura)
    rho2 = … [kg/m^3] ! densidade fluido 2
    rho3 = 13546 [kg/m^3] ! densidade do mercúrio (exemplo)
    h1 = … [m] ! altura conhecida do segmento 1
    h2 = … [m] ! altura conhecida do segmento 2
    ! equação hidrostática ligando p_a
    p_a = p_atm + rho1gh1 + rho2gh2 + rho3gh3
    ! se h3 é conhecido e p_a é desconhecido, resolva; se p_a é conhecido e h3 é desconhecido, reescreva para h3

Passo 5

Como obter h_{3} quando o mercúrio é substituído por água do mar:
  • Supondo que a pressão do ar no tanque p_a foi determinada (ou mantida), e que os outros parâmetros p_{atm}, \rho_{1}, \rho_{2}, h_{1}, h_{2} permanecem iguais, então a nova altura h_{3,new} com \rho_{sea}=1{,}030\\ \mathrm{kg/m^3} é h_{3,\text{new}}=\frac{p_a - p_{atm} - \rho_1 g h_1 - \rho_2 g h_2}{\rho_{sea}\, g},com o sinal correto dependendo da orientação do segmento (se originalmente esse termo entrava com sinal negativo, mantenha o mesmo sinal — a fórmula geral a seguir é a mais segura).
  • Fórmula geral, usando soma com sinais (mais segura para aplicar direto na figura): p_a = p_{atm} + \sum_{k\neq 3} \rho_k g h_k + \rho_3 g h_3.Isolando h_3: h_3 = \frac{p_a - p_{atm} - \sum_{k\neq 3} \rho_k g h_k}{\rho_3 g}.
  • Então, para a substituição por água do mar, troque \rho_3 \leftarrow 1{,}030\\ \mathrm{kg/m^3} nessa expressão e calcule h_{3,\text{new}}.

Passo 6

Observações sobre unidades e sinais (detalhes importantes que costumam quebrar estudantes na prova):
  • Sempre use unidades SI: pressões em pascal (Pa), densidades em \mathrm{kg/m^3}, g em \mathrm{m/s^2}, alturas em \mathrm{m}.
  • Verifique a orientação vertical no desenho: se você for integrar de um ponto mais alto para um mais baixo, o termo \rho g \Delta z entra positivo; do mais baixo para o mais alto, entra negativo.
  • Se no manômetro alguma interface de fluido tem uma superfície livre exposta ao ar, então naquele ponto a pressão é p_{atm}. Use esse ponto como início do caminho se for conveniente.
  • Ar tem densidade muito pequena; normalmente tratamos as colunas de ar como desprezíveis na contribuição hidrostática (mas se na figura houver grandes colunas de ar vertical, você pode incluir \rho_{ar}\approx 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}).

Passo 7

Resumo do procedimento prático que você deve executar agora (sem eu pedir dados adicionais):
  1. Pegue a figura do Exemplo 3‑3 e identifique claramente um caminho contínuo entre o ponto onde a pressão é conhecida (tipicamente a extremidade aberta ao ar com p_{atm}) e o ponto no tanque (pressão p_a).
  2. Anote as densidades \rho_k de cada fluido e as alturas verticais h_k (com sinais segundo descida/subida no caminho).
  3. Monte a equação p_a = p_{atm} + \sum_{k} \rho_k g h_k.
  4. Se p_a é a incógnita, resolva essa equação no EES para p_a. Se você precisa de h_3 após trocar o fluido, isole h_3 conforme mostrado no Passo 5 e resolva no EES substituindo \rho_3 por 1{,}030\\ \mathrm{kg/m^3}.
  5. No EES verifique as unidades (EES já lida com unidades se você as declarar); rode o solver e verifique se as variáveis convergiram.

Resposta

Não é possível fornecer valores numéricos para a pressão do ar p_a nem para a nova altura h_{3} porque a figura e os valores numéricos do Exemplo 3‑3 (densidades e alturas das colunas) não foram fornecidos.\n
Expressão geral para calcular p_a (usar na entrada do EES):
p_a = p_{atm} + \sum_{k=1}^{N} \rho_k g h_k.
Expressão geral para h_3 quando \rho_3 mudar (usar no EES para água do mar \rho_{sea}=1{,}030\\ \mathrm{kg/m^3}):
h_3 \;=\; \frac{p_a - p_{atm} - \displaystyle\sum_{k\neq 3} \rho_k g h_k}{\rho_3 g},
onde, para água do mar, \rho_3 = 1{,}030\\ \mathrm{kg/m^3}.

Exercícios relacionados