Considere o escoamento laminar, permanente, incompressível e de fluido newtoniano em um tubo circular reto de raio R e comprimento
. Determine a queda de pressão do escoamento.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Dado: escoamento laminar, permanente (estacionário), incompressível e de fluido newtoniano em um tubo circular reto de raio
e comprimento . - Pedido: determinar a queda de pressão ao longo do tubo (ou seja, a diferença de pressão entre a entrada e a saída do tubo).
Informações relevantes que podemos usar (retiradas do enunciado):
- O fluido é newtoniano (tensão viscosa proporcional ao gradiente de velocidade, com viscosidade dinâmica
). - O escoamento é laminar e permanente.
- O tubo é circular, reto, simétrico; usaremos coordenadas cilíndricas
com ao longo do eixo do tubo. - Vamos assumir o caso clássico de escoamento totalmente desenvolvido (perfil de velocidade não varia ao longo de
na região de interesse) — isso é padrão para o problema indicado e necessário para obter uma expressão fechada para a queda de pressão.
Passo 2
Definimos as incógnitas e as simplificações do problema:
- Chame a componente axial da velocidade de
(dependendo apenas da coordenada radial , por simetria e por ser escoamento totalmente desenvolvido e estacionário). - As componentes radial e azimutal são nulas:
, . - A pressão
varia apenas ao longo do eixo: . Para escoamento uniforme em o gradiente é constante. - Partimos da equação de quantidade de movimento (Navier–Stokes) na direção axial, e aplicamos as simplificações acima.
Passo 3
Escrevendo a equação de quantidade de movimento axial (forma reduzida, após as simplificações):
- A única contribuição é o balanço entre o gradiente de pressão axial e a difusão viscosa radial. Isso leva à equação ordinária
onde
é a velocidade axial,
é a viscosidade dinâmica, e
é o gradiente de pressão (constante).
Explicação rápida do que aparece nessa equação:
-
é a força de pressão por unidade de volume que empurra o fluido ao longo do tubo. - O termo com
é a divergência da tensão viscosa em coordenadas cilíndricas para um campo axial dependente só de . Para um fluido newtoniano linear, a viscosidade multiplica a segunda derivada efetiva de .
Passo 4
Resolver a equação diferencial para
. Começamos reescrevendo e integrando:
Multiplicando por
e integrando em
:
Dividindo por
:
Passo 5
Impondo regularidade no centro (
) para evitar singularidade física:
- A velocidade deve ser finita em
. O termo seria singular em a menos que . Logo .
Integrando novamente:
Passo 6
Aplicar a condição de contorno no tubo (condição de não deslizamento):
- No contato fluido-parede, a velocidade do fluido relativa à parede é zero:
.
Substituindo:
Portanto a distribuição de velocidades é
Passo 7
Escrever a forma usual, destacando o sinal do gradiente de pressão:
- Normalmente definimos
como um número positivo (porque a pressão decresce ao longo do eixo na direção do escoamento). Colocando isso, obtemos
Isto é o perfil parabólico clássico de Poiseuille, máximo no centro (
) e nulo na parede (
).
Passo 8
Calcular a vazão volumétrica
a partir do perfil
:
Substituindo
:
Fatorando constantes:
Calcule a integral:
Logo
Passo 9
Expressar o gradiente de pressão e, finalmente, a queda de pressão total
ao longo do comprimento
:
- Do resultado acima isolamos o gradiente:
- A queda de pressão entre entrada e saída (assumindo pressão maior na entrada) é
Substituindo: