Considere o escoamento laminar, permanente, incompressível e de fluido newtoniano em um tubo circular reto de raio R e comprimento \boldsymbol{L}. Determine a queda de pressão do escoamento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Dado: escoamento laminar, permanente (estacionário), incompressível e de fluido newtoniano em um tubo circular reto de raio \,R\, e comprimento \,L\,.
  • Pedido: determinar a queda de pressão ao longo do tubo (ou seja, a diferença de pressão entre a entrada e a saída do tubo).
Informações relevantes que podemos usar (retiradas do enunciado):
  • O fluido é newtoniano (tensão viscosa proporcional ao gradiente de velocidade, com viscosidade dinâmica \mu).
  • O escoamento é laminar e permanente.
  • O tubo é circular, reto, simétrico; usaremos coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com z ao longo do eixo do tubo.
  • Vamos assumir o caso clássico de escoamento totalmente desenvolvido (perfil de velocidade não varia ao longo de z na região de interesse) — isso é padrão para o problema indicado e necessário para obter uma expressão fechada para a queda de pressão.

Passo 2

Definimos as incógnitas e as simplificações do problema:
  • Chame a componente axial da velocidade de \,u(r)\, (dependendo apenas da coordenada radial \,r\,, por simetria e por ser escoamento totalmente desenvolvido e estacionário).
  • As componentes radial e azimutal são nulas: \,u_r=0, \,u_\theta=0.
  • A pressão p varia apenas ao longo do eixo: p=p(z). Para escoamento uniforme em z o gradiente \,dp/dz\, é constante.
  • Partimos da equação de quantidade de movimento (Navier–Stokes) na direção axial, e aplicamos as simplificações acima.

Passo 3

Escrevendo a equação de quantidade de movimento axial (forma reduzida, após as simplificações):
  • A única contribuição é o balanço entre o gradiente de pressão axial e a difusão viscosa radial. Isso leva à equação ordinária
0 = -\frac{dp}{dz} + \mu\left(\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)\right),
onde \,u(r)\, é a velocidade axial, \mu é a viscosidade dinâmica, e \,dp/dz\, é o gradiente de pressão (constante).
Explicação rápida do que aparece nessa equação:
  • -dp/dz é a força de pressão por unidade de volume que empurra o fluido ao longo do tubo.
  • O termo com \mu é a divergência da tensão viscosa em coordenadas cilíndricas para um campo axial dependente só de r. Para um fluido newtoniano linear, a viscosidade multiplica a segunda derivada efetiva de u.

Passo 4

Resolver a equação diferencial para u(r). Começamos reescrevendo e integrando:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}.
Multiplicando por r e integrando em r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{r}{\mu}\frac{dp}{dz}
r\frac{du}{dr} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^2}{2} + C_1.
Dividindo por r:
\frac{du}{dr} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r}{2} + \frac{C_1}{r}.

Passo 5

Impondo regularidade no centro ( r=0) para evitar singularidade física:
  • A velocidade deve ser finita em r=0. O termo \,C_1/r\, seria singular em r=0 a menos que \,C_1=0. Logo \,C_1=0.
Integrando novamente:
\frac{du}{dr} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r}{2}
u(r) = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^2}{4} + C_2.

Passo 6

Aplicar a condição de contorno no tubo (condição de não deslizamento):
  • No contato fluido-parede, a velocidade do fluido relativa à parede é zero: u(R)=0.
    Substituindo:
0 = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R^2}{4} + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R^2}{4}.
Portanto a distribuição de velocidades é
u(r) = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^2}{4} - \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R^2}{4}.

Passo 7

Escrever a forma usual, destacando o sinal do gradiente de pressão:
  • Normalmente definimos -dp/dz como um número positivo (porque a pressão decresce ao longo do eixo na direção do escoamento). Colocando isso, obtemos
u(r) = \frac{1}{4\mu}\bigl(-\frac{dp}{dz}\bigr)\bigl(R^2 - r^2\bigr).
Isto é o perfil parabólico clássico de Poiseuille, máximo no centro ( r=0) e nulo na parede ( r=R).

Passo 8

Calcular a vazão volumétrica \,Q\, a partir do perfil u(r):
Q = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr.
Substituindo u(r):
Q = 2\pi\int_{0}^{R} \frac{1}{4\mu}\bigl(-\frac{dp}{dz}\bigr)(R^2 - r^2)\,r\,dr.
Fatorando constantes:
Q = \frac{\pi}{2\mu}\bigl(-\frac{dp}{dz}\bigr)\int_{0}^{R} r(R^2 - r^2)\,dr.
Calcule a integral:
\int_{0}^{R} r(R^2 - r^2)\,dr = R^2\int_{0}^{R} r\,dr - \int_{0}^{R} r^3\,dr = R^2\cdot\frac{R^2}{2} - \frac{R^4}{4} = \frac{R^4}{4}.
Logo
Q = \frac{\pi}{2\mu}\bigl(-\frac{dp}{dz}\bigr)\cdot\frac{R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{8\mu}\bigl(-\frac{dp}{dz}\bigr).

Passo 9

Expressar o gradiente de pressão e, finalmente, a queda de pressão total \Delta p ao longo do comprimento L:
  • Do resultado acima isolamos o gradiente:
-\frac{dp}{dz} = \frac{8\mu Q}{\pi R^4}.
  • A queda de pressão entre entrada e saída (assumindo pressão maior na entrada) é
\Delta p \equiv p_{\text{in}} - p_{\text{out}} = -\int_{0}^{L}\frac{dp}{dz}\,dz = \bigl(-\frac{dp}{dz}\bigr) L.
Substituindo:
\Delta p = \frac{8\mu L Q}{\pi R^4}.

Resposta

\displaystyle \Delta p = \frac{8\mu L Q}{\pi R^{4}}

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