O que caracteriza o desvio padrão como a medida de variabilidade mais robusta dentre as discutidas em sala?

Passo 1

O enunciado pergunta por que o desvio padrão se destaca como medida de variabilidade “mais robusta” em comparação com outras discutidas em aula (como amplitude total, amplitude interquartil, desvio médio absoluto, variância etc.). Para responder, vamos identificar as propriedades matemáticas e estatísticas que conferem ao desvio padrão esse status.

Passo 2

Uma das principais características é que o desvio padrão leva em conta todas as observações e penaliza desvios grandes de forma quadrática. Se x_{1},x_{2},\dots,x_{n} são os dados e \mu sua média, o desvio padrão amostral é
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}}.
Esse somatório sobre todos os i garante que nenhum valor seja ignorado e que desvios maiores pesem mais no resultado.

Passo 3

O desvio padrão satisfaz duas propriedades métricas fundamentais:
  1. Invariância à translação:
s(X + a)=s(X).
  1. Escalabilidade linear:
s(c\,X)=|c|\,s(X).
Nenhuma outra medida (por exemplo, amplitude interquartil ou desvio médio) reúne ambas as propriedades de forma natural.

Passo 4

Do ponto de vista estatístico, sob a hipótese de normalidade dos dados, o desvio padrão amostral (ou sua versão viés-corrigida) é o estimador insesgado de mínima variância entre todos os estimadores lineares da dispersão (Teorema de Gauss–Markov). Além disso, ele aparece de modo central em resultados como o Teorema Central do Limite e em testes paramétricos (t de Student, ANOVA etc.), o que o torna fundamental para inferência estatística.

Passo 5

Em comparação:
  • A amplitude total só usa o valor máximo e mínimo, perdendo informações do restante da amostra.
  • A amplitude interquartil ignora 50 % dos dados (extremos) e não tem escalabilidade exata.
  • O desvio médio absoluto \bigl(\tfrac1n\sum|x_{i}-\mu|\bigr) usa todos os dados mas não satisfaz ambas as propriedades métricas e é menos conveniente analiticamente.

Resposta

O desvio padrão é visto como a medida de variabilidade mais “robusta” porque:
(a) utiliza todas as observações e penaliza maiores discrepâncias de forma quadrática;
(b) é invariante a mudanças de origem e escalas lineares;
(c) possui fundamentação teórica (Gauss–Markov, MLE sob normalidade, papel no TCL e testes paramétricos);
(d) oferece a melhor relação entre insesgadez e variância do estimador dentre opções analogamente definidas.

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