O que caracteriza
e
como medidas de assimetria e curtose, respectivamente, mais robustas que as medidas desenvolvidas por Pearson, Bowley, Kelley ou a amplitude semi-quartílica?
Passo 1
O enunciado pergunta por que as quantidades
e
, usadas como medidas de assimetria e curtose, são consideradas mais robustas do que as medidas de Pearson, Bowley, Kelley ou a amplitude semi-quartílica. O conteúdo envolve L-momentos (momentos lineares) e suas razões, que são definidas a partir de combinações lineares de estatísticas de ordem em vez de potências centradas.
Passo 2
As medidas em questão são as razões dos L-momentos, chamadas de L-assimetria
e L-curtose
, definidas por
onde
é o
-ésimo L-momento. Diferentemente de momentos centrados (que usam potências
), os L-momentos são combinações lineares de estatísticas de ordem
.
Passo 3
Em particular,
(no caso amostral, substitui-se a esperança pelo somatório sobre todos os subconjuntos de tamanho adequado). Como cada
é uma combinação linear de ordens, elas dependem de todos os dados mas com pesos moderados.
Passo 4
A robustez advém de duas propriedades principais:
- Linearidade: evitar termos de alta potência
, o que atenua o efeito de valores extremos. - Breakdown point mais alto: o menor número de pontos atípicos necessários para levar a estimativa a valores arbitrários é maior do que para momentos centrados de ordem 3 ou 4. Em geral,
e ―por serem razões de combinações lineares― têm variância amostral menor e são menos influenciadas por um pequeno conjunto de outliers.
Passo 5
Contrastando com as outras medidas:
- A assimetria de Pearson usa
ou terceiro momento central, sensível a outliers. - A curtose de Pearson usa quarto momento central
, fortemente influenciada por caudas pesadas. - A assimetria de Bowley e de Kelley usam apenas percentis (tipicamente quartis), sendo robustas mas muito discretas (dependem de poucos pontos).
- A amplitude semi-quartílica mede dispersão entre quartis, mas não capta forma de caudas ou assimetria de modo contínuo.
Já
e
usam todos os dados com pesos lineares, unindo robustez a informação completa da amostra, preservando escala e permitindo comparação entre distribuições.