O que caracteriza a_{3} e a_{4} como medidas de assimetria e curtose, respectivamente, mais robustas que as medidas desenvolvidas por Pearson, Bowley, Kelley ou a amplitude semi-quartílica?

Passo 1

O enunciado pergunta por que as quantidades a_{3} e a_{4}, usadas como medidas de assimetria e curtose, são consideradas mais robustas do que as medidas de Pearson, Bowley, Kelley ou a amplitude semi-quartílica. O conteúdo envolve L-momentos (momentos lineares) e suas razões, que são definidas a partir de combinações lineares de estatísticas de ordem em vez de potências centradas.

Passo 2

As medidas em questão são as razões dos L-momentos, chamadas de L-assimetria \tau_{3} e L-curtose \tau_{4}, definidas por
\tau_{3} \;=\;\frac{L_{3}}{L_{2}} \qquad\text{e}\qquad \tau_{4} \;=\;\frac{L_{4}}{L_{2}}
onde L_{k} é o k-ésimo L-momento. Diferentemente de momentos centrados (que usam potências (X-\bar X)^{k}), os L-momentos são combinações lineares de estatísticas de ordem X_{(i)}.

Passo 3

Em particular,
L_{2} \;=\; \frac{1}{2}\,\mathbb{E}[X_{(2)}-X_{(1)}], \quad L_{3} \;=\;\frac{1}{3}\,\mathbb{E}[\,X_{(3)}-2X_{(2)}+X_{(1)}\,], \quad L_{4}=\frac{1}{4}\,\mathbb{E}[\,X_{(4)}-3X_{(3)}+3X_{(2)}-X_{(1)}\,],
(no caso amostral, substitui-se a esperança pelo somatório sobre todos os subconjuntos de tamanho adequado). Como cada L_{k} é uma combinação linear de ordens, elas dependem de todos os dados mas com pesos moderados.

Passo 4

A robustez advém de duas propriedades principais:
  1. Linearidade: evitar termos de alta potência (X-\bar X)^{k}, o que atenua o efeito de valores extremos.
  2. Breakdown point mais alto: o menor número de pontos atípicos necessários para levar a estimativa a valores arbitrários é maior do que para momentos centrados de ordem 3 ou 4. Em geral, \tau_{3} e \tau_{4} ―por serem razões de combinações lineares― têm variância amostral menor e são menos influenciadas por um pequeno conjunto de outliers.

Passo 5

Contrastando com as outras medidas:
  • A assimetria de Pearson usa \frac{\bar X - \tilde X}{s} ou terceiro momento central, sensível a outliers.
  • A curtose de Pearson usa quarto momento central \mathbb{E}[(X-\bar X)^{4}], fortemente influenciada por caudas pesadas.
  • A assimetria de Bowley e de Kelley usam apenas percentis (tipicamente quartis), sendo robustas mas muito discretas (dependem de poucos pontos).
  • A amplitude semi-quartílica mede dispersão entre quartis, mas não capta forma de caudas ou assimetria de modo contínuo.
\tau_{3} e \tau_{4} usam todos os dados com pesos lineares, unindo robustez a informação completa da amostra, preservando escala e permitindo comparação entre distribuições.

Resposta

a_{3}=\tau_{3}=L_{3}/L_{2} e a_{4}=\tau_{4}=L_{4}/L_{2} são mais robustas porque derivam de combinações lineares de estatísticas de ordem (L-momentos), têm breakdown point maior, menor variância amostral e atenuam o efeito de outliers, ao passo que Pearson, Bowley, Kelley ou a amplitude semi-quartílica usam potências centradas ou poucos percentis, sendo ou excessivamente sensíveis a extremos (Pearson) ou muito grosseiras (Bowley, Kelley, semi-quartílica).

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