Sabendo-se que a estatística descritiva dos resultados obtidos com a avaliação de uma turma com a aplicação de uma prova revelou os números apresentados na tabela abaixo, classifique cada uma das afirmativas abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) justificando sua resposta responda:
Ma Mo Me \sigma^{2} \mathrm{a}_{3} \mathrm{a}_{4} Min. Máx. \Sigma n BJ
5,91 5,5 5,5 2,83 0,14 2,37 2,5 8,5 136 23 0,46
a) ( ) Existem mais alunos acima da média da turma do que abaixo.
R: Falsa. Ma > Me.
b) ( ) Existem ao menos 17 alunos com notas entre 2,55 e 9,27 .
R: Verdadeiro. Existem 22 alunos com notas entre \mathbf{2 , 5 5} \mathbf{~ e ~} \mathbf{9 , 2 7}.
c) ( ) Neste grupo é mais provável alguém tirar 10 do que zero.
R : Verdadeiro. Zero está fora de 3 \sigma da média e 10 está dentro ( \boldsymbol{\mu}+\mathbf{3} \sigma=\mathbf{1 0 , 9 5} e \boldsymbol{\mu}-\mathbf{3} \sigma=\mathbf{0 , 8 7} ).
d) ( ) A possibilidade de alguém tirar uma nota igual à 2,5 é levemente menor do que alguém tirar uma nota igual à 8,5.
R: Falso. É o contrário, devido à leve assimetria positiva e segundo o teste de BJ permitir considerar a distribuição simétrica.
e) ( ) Os desempenhos tendem a apresentar uma centralidade relativamente fraca em torno da média.
R: Verdadeiro. Devido à curtose mostrar um leve achatamento da curva em relação à curva gaussiana.

Passo 1

Resumo dos dados: temos n=23 alunos, soma das notas \Sigma=136, média aritmética \mu=5,91, mediana \mathrm{Me}=5,5, variância \sigma^2=2,83 (logo \sigma\approx1,68), coeficiente de assimetria a_3=0,14 (assimetria positiva leve), curtose a_4=2,37 (achatamento leve em relação à normal), valor mínimo 2,5 e máximo 8,5. Vamos usar comparação média × mediana, desigualdade de Chebyshev, regra dos 3\sigma, coeficiente de assimetria e curtose para julgar cada afirmação.

Passo 2

a) “Existem mais alunos acima da média da turma do que abaixo.”
Como \mu=5,91>\mathrm{Me}=5,5, a média está deslocada para a direita da mediana, indicando que há mais valores abaixo de \mu do que acima. Logo, a afirmativa é falsa.

Passo 3

b) “Existem ao menos 17 alunos com notas entre 2,55 e 9,27.”
O intervalo dado é aproximadamente [\mu-2\sigma,\;\mu+2\sigma]=[5,91-2\cdot1,68,\;5,91+2\cdot1,68]=[2,55,\;9,27]. Pela desigualdade de Chebyshev, ao menos 1-\tfrac1{2^2}=75\% dos dados (isto é, pelo menos 0{,}75\times23\approx17 alunos) caem nesse intervalo. Na prática 22 alunos estão dentro desse intervalo, mas basta haver 17. Portanto, a afirmativa é verdadeira.

Passo 4

c) “Neste grupo é mais provável alguém tirar 10 do que zero.”
Calculamos \mu\pm3\sigma=[5,91\pm3\cdot1,68]=[0,87,\;10,95]. O valor 10 está dentro de 3\sigma da média, enquanto 0 fica fora. Em distribuições aproximadas da normal, pontos dentro de 3\sigma são muito mais prováveis que pontos fora. Logo, é mais provável obter 10 do que 0. A afirmativa é verdadeira.

Passo 5

d) “A possibilidade de alguém tirar uma nota igual à 2,5 é levemente menor do que alguém tirar uma nota igual à 8,5.”
Na amostra, há exatamente uma ocorrência de 2,5 e uma de 8,5, portanto as frequências relativas são iguais. Mesmo admitindo leve assimetria positiva ou simetria pelo teste de Bowman–Shenton \mathrm{BJ}=0,46, não há base para falar em probabilidade menor em 2,5. A afirmativa é falsa.

Passo 6

e) “Os desempenhos tendem a apresentar uma centralidade relativamente fraca em torno da média.”
A curtose a_4=2,37<3 indica achatamento (platikurticidade) em relação à curva normal, ou seja, menos concentração central e caudas mais leves. Logo, a afirmativa é verdadeira.

Resposta

a) F
b) V
c) V
d) F
e) V

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